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Master1Math´ematiques,MAT414
Universit´eJosephFourier 20082009
Corrig´edudevoir`alamaisondu20avril2009
Exercice 1. 2 2 1. PuisqueE[X|G] estGmesurable, on aE(XE[X|G]| G) =E[X|G] =E(E[X|G]| Gar´e´eitPa).inrl delespe´ranceconditionnelle,ilvient    2 22 2 var(X|G) =EX2XE[X|G] +E[X|G]| G=EX|G −E[X|G](1)0 p.s.
n n 2.Enutilisant(1)etle´galit´eE(E[X|G]) =E(X) pourn= 1,2, on obtient       2 2 22 Evar(X|G) +varE[X|G] =E E[X|G]E[X|G] +E E[X|G]E E[X|G]    2 2 =EXE(Xvar() =X).(2) 3. Commevar(X|G)qu2)e(edulco´eldi,.s.p0(veraE[X|G])var(Xque l’on ait). Supposons    2 ´egalit´e,var(E[X|G]) = var(XorAl).tren2)s(enıˆaEvar(X|G) =E E(XE[X|G])|G=   2 E(XE[X|G]) =0. Doncvar(E[X|G]) = var(X) ssiX=E[X|Gcses.,.p]ie,ssdirt`aXest GeR(.elbarusemtitueunp:ouerqmatlus3(talrere´ree)de´ustltailescrrerd´emontet(1)pou lexercice10delafeuilledeTD1,oubieninversementutiliserler´esultate´tablienTDainsi que(1)et(2)pourde´montrerquevar(E[X|G]) = var(X) ssiXestGmesurable). Exercice 2. 2 2 PosonsZ=aE[X|G]E[1{|X|≥a}|G]. SoitG∈ Gad´e.Vulll,etidineonncraonecelee´pstindnoi Z Z 2   X(ω) E E[1{|X|≥a}|G] 1G= dP(ω)dP(ω) 2 a {|X|≥a}∩G{|X|≥a}∩G   Z 2 2 X(ω)E E[X|G] 1G dP(ω) =. 2 2 a a G Cela prouve queE[Z1G]0 pour toutG∈ Ga`lneesbmelA.pprndeteetsconqulie´tilage´niere`i G={Z0}, qui est bien dansGcarZestGmesurable. CommeZ1{Z0}nte´seefatagitune esp´erancepositive,onaE[Z1{Z0}d0,]=uo`Z1{Z0}snocuqe´tnemraP.esqureˆu=0esprent,Zest presquesuˆrementpositive.Celad´emontreline´galite´deTchebychevconditionnelle 2 E[X|G] P[|X| ≥a| G] =E[1{|X|≥a}|G]p.s. (3) 2 a Exercice 3. On poseY=E[X|G]. 1.Pard´enitiondelespe´ranceconditionnelle,E[X1{Y=0}] =E[Y1{Y=0}] = 0 car{Y= 0} ∈ G. MaisXetX1{Y=0}poesirtoeal´saleodtuepnO.sevitislurequencenconcirbaseavnodts X1{Y=0},prerpou`stdiatuqseroteu.p.sc,e0=ωΩ,Y(ω) = 0X(ωUne autre) = 0. fa¸cond´enoncercer´esultatest:ilexisteunensembleΩ1Ω de mesureP1) = 1 tel que {Y= 0} ∩Ω1⊂ {X= 0} ∩Ω1. 2. Puisque{Y <∞} ∈ G, on a pour touts]0,1[    X XY geX(s) =E[s1{Y <∞}] =E E[s|G] 1{Y <∞}Es1{Y <∞},(4) x ou`ladernie`reine´galite´d´ecouledelin´egalite´deJensenetdelaconvexite´dex7→s. Faisonsten dresvers 1emem4).Ledrobredna(sdte´evendrsdetiilege´ntilageX(1) =E[1{Y <∞}] en vertu
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duth´eore`medelaconvergencedomin´ee(ouconvergencemonotone).MaisegX(s)geX(1) pour touts]0,`uo,d1[egX(s)geX(1) quands1thduor´ecaliontieme`ed.Pevllaeppranuneuo X laconvergencedomin´ee,geX(1)geX(s) =E[(1s)1{Y <∞}] tend versE[1{X=∞}1{Y <∞}o]d,u` E[1{X=∞}1{Y <∞}si,10p]=unaritice´edalilimetA.ni{X=∞}1{Y <∞}e,ir=c,.s.p0da`tse pour presque toutωΩ on aX(ω) =∞ ⇒Y(ω) =.
Exercice 4. 1. PuisqueSetTdspˆrraedtnmetssoetde(Fn)nN, il s’ensuit que pour toutnN,       c c min{S, T}=n=S=nnT <S < nT=n { }{ }{ }{ } ∈Fn∈Fn∈Fn∈Fn   (carFn1⊂ Fnsinnimu`,do1){S, T}=n∈ Fnmontre que min. Cela{S, T}est un tempsdarrˆetde(Fn)nNpreuve est analogue pour max. La{S, T}. n   [   2. PourtoutnN,T+SθT=n={T=k} ∩{Sθk=nk}.Or sik∈ {0, . . . , n} { } k=0 ∈Fk⊂Fn 1 alors{S=nk} ∈ Fnk. Commeθ(Fnk)⊂ Fniudeeuqtno,´dne k   N1 {Sθk=nk}= (xn)nNR;θk((xn)nN)∈ {S=nk}=θ({S=nk})∈ Fn. k Ainsi,T+SθTsdmprratdˆee(tseetnuFn)nN. Exercice 5. c Notons tout d’abord queA∈ Fn=σ({1}, . . . ,{n})A⊂ {1, . . . , n}ouA⊂ {1, . . . , n}(). SoitTetpmnue(tdasdˆerrFn)nN. Alors{T=n} ∈ Fnpour toutnNdistingue 2 cas.. On ⋆ c(1) S’il existe un entierkNtel que{T=k} ⊂ {1, . . . , k}alors, pour toutnN\ {k}, c ⋆ {T=n} ⊂{T=k}est une partie ﬁnie de Ω =Nde plus. Puisque{T=n} ∈ Fn, il s’ensuit dapr`es() que{T=n} ⊂ {1, . . . , n}. Ainsi,siωNe´veirT(ω) =n6=kalorsnωattnla´e.Ce vrai pour toutnN\ {k}´endle,ieuqeluocisT(ω)6=kalorsT(ω)ωt´listeeintega´eteC.ibne c sˆuraussive´ri´eesiT(ω) =ketω∈ {1, . . . , k}itdu´end,ontmeleaniF.ed{T=k} ⊂ {1, . . . , k}que {T=k} ⊃ {k+ 1, k+ 2, . . .}et doncT(ω) =kpour toutω > k.Onaprouv´eque T(ω) =ksiω > ketT(ω)ωsiωk. (5) c ⋆ (2) S’il n’existe pas d’entier ﬁniktel que{T=k} ⊂ {1, . . . , k}, alors toutes les parties{T=n} ⊂N sont ﬁnies.En vertu de () et de{T=n} ∈ Fn, il vient{T=n} ⊂ {1, . . . , n}pour toutnN. Par lemeˆmeargumentquepr´ec´edemment,onend´eduitquelarmation(5)estvraieaveck=. t,soitpice´RnemeuqorTunevariabellae´taioera`avurleansdsN∪ {∞}Soitsatisfaisant (5). ⋆ ⋆ nN\ {k}. Alors{T=n}={ωN;T(ω) =nω} ⊂ {1, . . . , n}. Donc{T=n} ∈ Fnen vertu c c de (plus, si). Dekest un entier ﬁni on a{T=k} ⊂ {1, . . . , k}s’ensuit que. Il{T=k} ∈ Fket {T=k} ∈ FkP.e´snocrat,quenTtira(onrreˆdsaatldtleetempstunFn)nN. Exercice 6. 1. Soit 0p < q(1. SoitY1, . . . , Yn) unndseteoiresind´eppeunedladntveraailbselae´ta (q) (q) meˆmeloideBernoullideparam`etreP[Yi= 1] =p/qtel que (Y1, . . . , Yn) et (X ,. . . , Xn) sont 1 ind´ependants.Levecteurale´atoire(Y1, . . . , Yn) existe carp/q[0,tout1]. Pouri= 1, . . . , n, onconside`relavariableal´eatoire (p) (q) e X=YiX i i (p) (p) e e a`valeursdans{0,1}. Onremarque que (X ,. . . , Xn) est unnupletdevariablesiotae´laser 1 (q) (q) inde´pendantesdemˆemeloi(eneet,cestvraipour(Y1, . . . , Yn) et pour (X ,. . . , Xn) et de 1
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