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oN D’ORDRE: 7531´UNIVERSITE PARIS XIUFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY`THESEpr´esent´ee pour obtenir leGRADE de DOCTEUR EN SCIENCES´DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAYpar´Julien DUBEDATSujet:Sur le processus de Schramm-Loewneret la limite continue de la percolation critique planeSoutenue le  juin  devant la Commission d’examenM. Jean BERTOIN, rapporteurM. Richard KENYON, examinateurM. Jean-Franc¸ois LE GALL, examinateurM. Yves LE JAN, pr´esidentM. Wendelin WERNER, directeurRemerciementsJe souhaite avant tout remercier Wendelin Werner. Il m’a initi´e `a un domaine de rechercheenthousiasmant, `a ses id´ees et ses m´ethodes. Par ses conseils´eclair´es, ses explications patientes,ses indications pr´ecieuses, et son soutien constant, il a largement contribu´e `a fac¸onner cetteth`ese. Pour cela et pour le reste, je lui exprime ma profonde gratitude.Jean Bertoin et Oded Schramm m’ont fait l’honneur d’accepter d’ˆetre rapporteurs. Je leursuis extrˆemement reconnaissant d’avoir bien voulu assumer cette tˆache.Je remercie´egalement Jean Bertoin, Richard Kenyon, Jean-Franc¸oisLe Gallet Yves Le Jand’avoir accept´e de faire partie du jury de soutenance.Marc Yor et Jim Pitman ont contribu´e, par des conversations stimulantes, `a l’avanc´ee decetteth`ese.JesouhaiteaussiremercierVincentBeffara,Gr´egoryMiermontetS´ebastienGou¨ezelpour de nombreuses discussions.Jesuis´egalement tr`esreconnaissant envers Jean-Franc¸oisLeGall,pourses conseils toujoursavis´es et son ...

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N D’ORDRE: 7531
´UNIVERSITE PARIS XI
UFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY
`THESE
pr´esent´ee pour obtenir le
GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES
´DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAY
par
´Julien DUBEDAT
Sujet:
Sur le processus de Schramm-Loewner
et la limite continue de la percolation critique plane
Soutenue le  juin  devant la Commission d’examen
M. Jean BERTOIN, rapporteur
M. Richard KENYON, examinateur
M. Jean-Franc¸ois LE GALL, examinateur
M. Yves LE JAN, pr´esident
M. Wendelin WERNER, directeurRemerciements
Je souhaite avant tout remercier Wendelin Werner. Il m’a initi´e `a un domaine de recherche
enthousiasmant, `a ses id´ees et ses m´ethodes. Par ses conseils´eclair´es, ses explications patientes,
ses indications pr´ecieuses, et son soutien constant, il a largement contribu´e `a fac¸onner cette
th`ese. Pour cela et pour le reste, je lui exprime ma profonde gratitude.
Jean Bertoin et Oded Schramm m’ont fait l’honneur d’accepter d’ˆetre rapporteurs. Je leur
suis extrˆemement reconnaissant d’avoir bien voulu assumer cette tˆache.
Je remercie´egalement Jean Bertoin, Richard Kenyon, Jean-Franc¸oisLe Gallet Yves Le Jan
d’avoir accept´e de faire partie du jury de soutenance.
Marc Yor et Jim Pitman ont contribu´e, par des conversations stimulantes, `a l’avanc´ee de
cetteth`ese.JesouhaiteaussiremercierVincentBeffara,Gr´egoryMiermontetS´ebastienGou¨ezel
pour de nombreuses discussions.
Jesuis´egalement tr`esreconnaissant envers Jean-Franc¸oisLeGall,pourses conseils toujours
avis´es et son soutien au fil des ans.
JesouhaiteremercierGregoryLawleretOdedSchrammpourlesoutienqu’ilsm’ontapport´e.
Je sais aussi gr´e `a Oded Schramm d’avoir introduit l’objet de ce travail!
Enfin, je remercie toute l’´equipe d’Orsay, qui m’a accueilli au long de cette th`ese.Table des mati`eres
1 Introduction 3
1.1 Cadre g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Universalit´e et invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Evolution de Schramm-Loewner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Percolation critique plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Plan g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 SLE et triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Mouvements browniens r´efl´echis, relations d’entrelacement, et probabi-
lit´es de croisement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Percolation critique dans les couronnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Martingales pour le SLE(κ,ρ) et dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 D´ecompositions en excursions pour le SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 SLE and triangles 17
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Chordal SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 A normalization of SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Privileged geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Radial SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Related conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.1 FK percolation in isosceles triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2 UST in half-strips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.3 Double domino tilings in plane strips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 SLE(κ,ρ) processes and general triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.1 SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.2 A particular case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1`2 TABLE DES MATIERES
2.8 Locality, holonomy, and equianharmonic elliptic functions . . . . . . . . . . . . . 32
3 ReflectedplanarBrownianmotions,intertwiningrelationsandcrossingprob-
abilities 39
3.1 Introduction and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Invariance principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Intertwining Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Relation with Watts’ formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Vases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Critical percolation in annuli 55
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Annuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 SLE in an annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
4.4 Crossing of an annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 SLE(κ,ρ) martingales and duality 65
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Chordal SLE and SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Hulls and restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Restriction functionals for SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Some properties of SLE(κ,κ−4) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 Generalized SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Excursion decompositions for SLE 83
6.1 Properties of SLE(κ,κ−4) and SLE(κ,κ−4,κ−4) processes . . . . . . . . . . 84
6.2 Frontier points of SLE(κ,κ−4) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Cutpoints for SLE(κ,κ−4,κ−4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4 Proof of Watts’ formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Chapitre 1
Introduction
1.1 Cadre g´en´eral
1.1.1 Universalit´e et invariance conforme
Les syst`emes de la physique statistique sont g´en´eralement d´ecrits comme une famille de
variables al´eatoires index´ee par un ensemble de positions possibles (typiquement, un r´eseau).
L’espace probabilis´e sous-jacent est alors fini (dans le cas d’un syst`eme de spins), ou de di-
mension finie (par exemple dans le mod`ele O(n), ou` il s’agit d’un produit fini de groupes
orthogonaux). Il s’agit alors de sp´ecifier la loi jointe de ces (nombreuses) variables; les mesures
de Gibbs fournissent une vaste famille de mod`eles.
A grande ´echelle, deux types de comportements sont possibles. Dans le premier cas, le
syst`ememacroscopiqueadopteuncomportementmoyen,commedanslaloidesgrandsnombres;
on peut alors s’int´eresser par exemple aux grandes d´eviations. Dans le second cas, un objet
limite al´eatoire apparaˆıt, et on peut d´efinir des ´ev´enements macroscopiques aux probabilit´es
diff´erentes de 0 et 1.
Lorsquedeschoixrelativementarbitrairessonteffectu´esdanslasp´ecification“`avolumefini”
(comme le choix d’un r´eseau sous-jacent), on peut esp´erer que la limite continue ne d´ependra
pas de ceux-ci; on parle d’universalit´e. Dans ce cas, la limite h´erite de certaines invariances.
Consid´erons par exemple une marche al´eatoire dans un espace euclidien, dont les pas
ind´ependants et identiquement distribu´es sont de moyenne nulle, et de matrice de covariance
proportionnelle `a l’identit´e. Le principe d’invariance de Donsker indique alors que la limite
continue existe et est d´ecrite par le mouvement brownien. Ainsi, une classe de mod`eles dis-
crets converge vers une unique limite (`a un facteur d’´echelle pr`es). En particulier, cette limite
est n´ecessairement invariante en loi par isom´etrie (puisque si une marche converge vers le
mouvement brownien, l’image de cette marche parune isom´etrie converge vers lamˆeme loi). Le
mouvement brownienestdonc,`areparam´etragepr`es,invariantparisom´etrieetparhomoth´etie.
Dufaitde sa propri´et´e de Markov, ceci indique que le mouvement brownien est´egalement inva-
riant (`a reparam´etrage pr`es) sous l’action d’une transformation de son espace d’´etats qui n’est
que localement la composition d’une homoth´etie et d’une isom´etrie. Une telle application est
34 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
une application conforme, et un r´esultat classique de Paul L´evy pr´ecise que l’image du mou-
vement brownien par une application conforme (et par exemple arrˆet´e `a sa sortie de l’ensemble
de d´efinition de cette application), est un mouvement brownien reparam´etr´e en temps.
La typologie des applications conformes en dimension 2 est tr`es diff´erente de la situation
en dimension sup´erieure. En effet, les applications conformes en dimension plus grande que 2
(c’est-`a-dire les applications qui pr´eservent la notion d’orthogonalit´e) constituent un groupe de
Lie de dimension finie; outre les isom´etries affines et les dilatations, on a aussi les inversions
par rapport `a un point. En dimension 2, par contraste, il est bien connu que les applications
conformes sont les fonctions holomorphes et antiholomorphes. On r´esume parfois ceci en disant
qu’ “en dimension 2, le groupe conforme est de dimension infinie” (plus pr´ecis´ement, l’alg`ebre
de Lie des champs de vecteurs conformes est de dimension infinie).
Ainsi, si un mod`ele plan admet une limite “universelle”, on peut s’attendre `a ce que celle-ci
soit invariante conforme. Ceci induit une tr`es grande rigidit´e. En effet, le th´eor`eme de l’applica-
tion de Riemann pr´ecise que tous les ouverts simplement connexes du plan complexe (distincts
deC)sonten´equivalenceconforme.Parexemple,siunsyst`emecontinuinvariantconformepeut
ˆetre associ´e `a un ouvert simplement connexe born´e avec jusqu’`a trois points du bord donn´es,
ou un point du bord et un point int´erieur donn´es, il suffira de d´ecrire le syst`eme pour une seule
configuration.
Parmi les limites continues invariantes conformes connues, outre le mouvement brownien,
on peut citer la marche al´eatoire `a boucles effac´ees (ou LERW, pour loop-erased random walk),
et un objet tr`es li´e, l’arbre couvrant uniforme (UST, pour uniform spanning tree) (r´esultat de
Lawler, Schramm et Werner, [36]); et la percolation critique plane (r´esultat de Smirnov dans
le cas de la percolation de site sur le r´eseau triangulaire, [57]). Dans chacun de ces cas, l’objet
limite est d´ecrit sous la forme d’une courbe al´eatoire. Ces courbes sont qualitativement tr`es
diff´erentes : une courbe simple pour la marche `a boucles effac´ees; une courbe qui rebondit sur
son pass´e sans le traverser pour les interfaces de percolation critique; et une courbe de Peano
pour l’arbre couvrant uniforme.
Afinded´ecrireleslimitescontinuesinvariantesconformes,OdedSchrammaintroduitunefa-
mille `a un param`etre de lois sur des objets continus, appel´ees Evolutions de Schramm-Loewner
(SLE). La d´efinition de ces objets est bas´ee sur une construction en analyse complexe, les
´equations de Loewner, qui permet d’encoder un processus de croissance dans un domaine plan
par un processus r´eel. Ces familles croissantes de compacts d’un domaine du plan sont ca-
ract´eris´ees par une axiomatique naturelle, transcrivant l’invariance conforme, l’ind´ependance
des incr´ements (au sens de la composition des ´equivalences conformes), et la continuit´e de ces
incr´ements.
1.1.2 Evolution de Schramm-Loewner
Nous d´efinissons ici l’un des principaux objets d’´etude de ce travail, `a savoir l’Evolution de
Schramm-Loewner (ou Evolution Stochastique de Loewner, ou SLE). Il s’agit de d´ecrire des
processus de croissance dans un domaine plan simplement connexe (distinct deC) satisfaisant
une propri´et´e d’invariance conforme. Les deux situations principales sont le cas chordal (crois-
sance d’un point du bord vers un autre point du bord), et le cas radial (croissance d’un point´ ´1.1. CADRE GENERAL 5
du bord vers un point int´erieur). Notons que pour un domaine plan simplement connexe avec
deux points du bord donn´es, le groupe des automorphismes conformes (fixant ces deux points)
est un groupe `a un param`etre (scaling), comme on le voit facilement en consid´erant le domaine
(H,0,∞), ou`H est le demi-plan sup´erieur.
Commenc¸ons par le cas chordal. Soit donc un domaine D du plan, distinct de celui-ci,
simplement connexe; supposons pour simplifier que le bord du domaine est param´etrable par
une courbe simple continue, et que deux points du bord a et b sont donn´es. On s’int´eresse `a
des familles croissantes (K ) de ferm´es de D telles que K ={a} et D\K est simplementt t≥0 0 t
connexe pour tout t≥ 0, et qui satisfont une condition de croissance locale : pour tout temps
t≥ 0, il existe un sous-ensemble S deD\K de diam`etre arbitrairement petit tel que pour unt
certainδ >0,K \K etbappartiennent`adescomposantesconnexesdisjointesdeD\(K∪S).t+δ t t
Supposons, sans perte de g´en´eralit´e par le th´eor`eme de l’application de Riemann (voir par
exemple [3]), que (D,a,b) = (H,0,∞), ou` H est le demi-plan sup´erieur (nombres complexes
de partie imaginaire strictement positive). Si K est un compact deH tel que H\K soit sim-
plementconnexe,soitφ l’unique´equivalenceconformeH\K→HsatisfaisantlanormalisationK
hydrodynamique, c’est-`a-dire avec un d´eveloppement asymptotique `a l’infini de la forme :
a −2φ (z) =z+ +O(z ).K
z
Le nombre a, qui est strictement positif si K est non vide, est la capacit´e de K dans le demi-
plan, not´ee cap(K). De plus, on a une relation d’additivit´e : si K , K et K sont tels que1 2
φ =φ ◦φ , alors cap(K) = cap(K )+cap(K ). Une chaˆıne de Loewner (dans (H,0,∞))K K K 1 21 2
est une famille (K ) satisfaisant les hypoth`eses pr´ec´edentes, et param´etr´ee de sorte que lat
capacit´e de K soit 2t.t
Les ´equations de Loewner permettent d’encoder des familles croissantes de compacts par
+une fonction continue r´eelle. Plus pr´ecis´ement, soitw une function continue deR dansR, avec
w = 0. Pour tout z∈H, consid´erons l’´equation diff´erentielle ordinaire :0
2
∂g (z) =t t
g (z)−wt t
avec condition initiale g (z) = z. Pour un z donn´e, la solution de cette ´equation diff´erentielle0
est d´efinie jusqu’`a explosion au temps τ , ´eventuellement infini. D´efinissons alors, pour t> 0 :z
K ={z∈H : τ ≤t}.t z
IlestfaciledevoirqueK estcompact,etquelafamille(K )satisfaitleshypoth`esespr´ec´edentest t
(enparticulierlacroissancelocale).Pluspr´ecis´ement, pourtpositif,g =ϕ ,aveclesnotationst Kt
pr´ec´edentes. De plus, la capacit´e deK dans le demi-plan est 2t. En fait, ce proc´ed´e´etablit unet
bijection entre chaˆınes de Loewner dans le demi-plan sup´erieur et processus continus r´eels issus
de z´ero.
La construction ainsi d´ecrite est purement d´eterministe. Faisons la simple observation sui-
−1vante : si une chaˆıne (K ) est associ´ee `a un processus (w ), alors la chaˆıne (g (K \K )−t t≥0 t t+s ss
w ) est associ´ee au processus translat´e (w −w ) . De plus, si (K ) est la chaˆıne as-s t≥0 t+s s t≥0 t
−1
2soci´ee `a (w ) et λ est un nombre strictement positif, alors (λ K ) est la chaˆıne associ´ee `at λ t t≥0
−1(λ w 2 ) .λ t t≥06 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Le SLE chordal dans (H,0,∞) de param`etre κ est la chaˆıne de Loewner al´eatoire associ´ee
`a un mouvement brownien (B ) , ou` B est un brownien standard et κ strictement positif.κt t≥0
Notons que deux ´echelles de temps sont pr´esentes, donn´ees par la variation quadratique du
mouvement brownien d’une part, et par la capacit´e d’autre part; le param`etre κ mesure le
ratio de ces deux ´echelles, et est invariant par scaling. Si la chaˆıne (K ) est un SLE chordal,t
−1(λ K 2 ) suit la mˆeme loi, donc la loi du SLE chordal de param`etre κ (ou SLE(κ)) dansλ t t≥0
(H,0,∞) est invariante par les automorphismes conformes de (H,0,∞) (i.e. les homoth´eties
z7!λz, λ> 0), `a reparam´etrage lin´eaire du temps pr`es. On peut donc d´efinir le SLE(κ) dans
un domaine quelconque (D,a,b) comme l’image du SLE(κ) dans (H,0,∞) par une´equivalence
conforme entre (H,0,∞) et (D,a,b).
Nousrecensonsiciquelquespropri´et´esfondamentalesduSLE,quenousutiliseronslibrement
au cours de ce travail.
Th´eor`eme 1.1. (i) (Propri´et´e de Markov). Soit (K ) la chaˆıne de Loewner d´efinie par unt
SLE(κ), W le mouvement brownien associ´e. Alors, pour s≥ 0, (g (K \K )−W ) d´efinits t+s s s t
un SLE(κ) ind´ependant de (K ) .t 0≤t≤s
(ii) (Existence de la trace). Soit (K ) la chaˆıne de Loewner d´efinie par un SLE(κ), W le mou-t
vement brownien associ´e. Alors il existe un processus stochastique γ : R → H tel que, p.s.,+
pour tout t ≥ 0, H\K est la composante connexe non born´ee de H\γ . Le processus γ,t [0,t]
appel´e trace, est caract´eris´e par la limite p.s. :
−1γ = lim g (z).t t
z→W ,z∈Ht
(iii) (Transience) La trace est p.s. transiente.
(iv) (Phases). Si 0<κ≤ 4, la trace est p.s. simple. Si 4<κ< 8, la trace est p.s. non simple,
et son image est de mesure de Lebesgue p.s. nulle. Si κ ≥ 8, la trace est p.s. une courbe de
Peano (i.e. son image est p.s.H).
Ces faits sont d´emontr´es dans [52] (voir aussi [36] pour le cas critique κ = 8). Il apparaˆıt
ainsi que les propri´et´es qualitatives du SLE d´ependent de mani`ere cruciale de la valeur de κ.
Le SLE radial est d´efini de mani`ere analogue. Plus pr´ecis´ement, le mod`ele de r´ef´erence est
celui du disque unit´eD; on consid`ere les chaˆınes de Loewner croissant d’un point du bord vers
le centre du disque. Consid´erons, pour un processus r´eelw, la famille d’´equations diff´erentielles
g (z)+ξt t
∂g (z) =−g (z)t t t
g (z)−ξt t
′ −tpourz∈D,ou`ξ =exp(iw )etg (z) =z.Remarquonsqueg (0)=0pourtoutt,etg (0) =e .t t 0 t t
Comme dans le cas chordal, on d´efinit un compact K de D part
K ={z∈D,τ ≤t}t z
ou` τ est le temps d’explosion de l’´equation diff´erentielle (ordinaire) associ´ee `a z ∈ D. Alorsz
g est l’unique ´equivalence conforme entre D\K et D dont la d´eriv´ee en 0 est un nombret t
positif.Commepr´ec´edemment,cetteconstruction´etablitunebijectionentrechaˆınesdeLoewner
radiales et processus r´eels continus (modulo 2π). On obtient un SLE radial de param`etre κ´ ´1.1. CADRE GENERAL 7
quand le processus associ´e est un mouvement brownien r´eel `a vitesse κ. Aux temps courts,
les versions chordales et radiales du SLE sont ´equivalentes `a reparam´etrage pr`es (i.e. leurs lois
sont `a densit´e l’une par rapport `a l’autre). Les propri´et´es qualitatives presque suˆres sont donc
identiques pour le SLE radial.
Pour des valeurs particuli`eres du param`etres κ, des propri´et´es sp´ecifiques apparaissent,
notamment en termes de convergence de processus discrets. Nous rappelons ici tr`es bri`evement
les plus importantes.
Cas κ =2, κ =8
Ces deux cas sont tr`es li´es. De mani`ere g´en´erale la dualit´e est une relation (conjecturale)
locale entre le bord d’un SLE(κ) et un SLE(16/κ), κ> 4. Pour κ = 2, Lawler, Schramm
et Werner ont d´emontr´e ([36]) que la limite continue de la marche `a boucles effac´ees ´etait
le SLE(2); le processus d’exploration d’un arbre couvrant uniforme converge quant `a lui
vers le SLE(8).
Cas κ =4
Danscecascritique, onconjecture([52],Problem9.8)queleSLEd´ecritlalimitecontinue
du processus d’exploration obtenu par double pavage de dominos (voir [27, 28], et le
paragraphe2.6.3).Parailleurs,SchrammetSheffieldont´etablilaconvergenced’unmod`ele
discret, l’ “explorateur harmonique”, vers le SLE(4) ([56]).
Cas κ =6
LeSLE poss`edeunepropri´et´ecaract´eristique,appel´eelocalit´e(voir[34,33]).Consid´erons6
′ ′le SLE chordal dans un domaine (D,a,b) et dans (D,a,b); alors, tant queb etb restent6
dans la mˆeme composante connexe, on ne peut distinguer un SLE se dirigeant vers b6
′d’un SLE se dirigeant vers b (`a reparam´etrage pr`es). Le SLE radial a une propri´et´e6 6
analogue, et les SLE chordaux et radiaux sont ´equivalents, `a reparam´etrage pr`es, tant6
que leurs “cibles” restent dans la mˆeme composante connexe ([35]). Cette propri´et´e de
localit´e indique que le SLE doit apparaˆıtre comme limite continue d’un mod`ele sans6
interaction, celui de la percolation critique plane. Dans le cas de la percolation critique
sur les sites du r´eseau triangulaire (ou, de mani`ere ´equivalente, sur les faces du r´eseau
hexagonal), ceci a ´et´e ´etabli par Smirnov ([57]). On a de plus des identit´es entre SLE et6
des constructions browniennes, qui d´ecoulent ´egalement de la localit´e ([63, 33]).
Cas κ =8/3
Dans ce cas (dual de κ =6), le SLE chordal satisfait une propri´et´e dite de restriction,8/3
qu’onpeutformulerainsi:unSLE chordaldansundomaine(D,a,b)conditionn´e`ares-8/3
′terdanslesous-domaine(D,a,b)estunSLE chordaldanscesous-domaine.Cettepro-8/3
pri´et´e importante, satisfaite par une famille de mesures, a ´et´e ´etudi´ee syst´ematiquement
parLawler,SchrammetWerner([33,65]).Cesm´ethodespermettentd’´etablirpr´ecis´ement
la dualit´e pour le couple (8/3,6). De plus, on conjecture que le SLE d´ecrit la limite8/3
continue de la marche auto-´evitante ([37]).
1.1.3 Percolation critique plane
Nous rappelons dans ce paragraphe des faits classiques sur la percolation (voir par exemple
[25]), un mod`ele introduit par Hammersley et Broadbent, et pr´esentons le r´esultat de Smirnov
sur la convergence des interfaces de percolation critique plane vers le SLE dans le cas de la68 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
percolation de site sur le r´eseau triangulaire (voir [57]).
Consid´erons par exemple la percolation sur les sites (la percolation sur les liens ´etant
´equivalente `alapercolationsurles sites dur´eseau couvrant). Surun r´eseau r´egulierd’un espace
euclidien (par exemple le r´eseau cubique, ou le r´eseau triangulaire dans le plan), chaque site
est colori´e avec une probabilit´e p, ind´ependamment des autres. On s’int´eresse au sous-graphe
al´eatoire constitu´e des sites colori´es, et en particulier `a ses propri´et´es de connexit´e.
Ce mod`ele admet une transition de phase pour une valeur p de p, p ∈ (0,1), d´ependantc c
du r´eseau. Dans la phase sous-critique (p < p ), p.s., il n’existe pas de composante connexec
infinie. Le cardinal d’une composante connexe donn´ee est d’esp´erance finie, et les corr´elations
(i.e. la probabilit´e pour deux sites d’appartenir `a une mˆeme composante connexe) d´ecroissent
exponentiellement en la distance. Dans le cas critique, il n’y a p.s. pas de composante infinie,
mais il n’y a plus de d´ecroissance exponentielle des corr´elations. Dans la phase surcritique
(p>p ), il existe p.s. une unique composante connexe infinie.c
En dimension 2, deux mod`eles sont particuli`erement importants : la percolation de liens
sur le r´eseau carr´e, et la percolation de sites sur le r´eseau triangulaire. Ces deux mod`eles sont
autoduaux, ce qui implique que la probabilit´e critique est 1/2. De plus, la probabilit´e qu’il
existe un chemin reliant deux cˆot´es oppos´es d’un grand carr´e (ou plutˆot d’une approximation
appropri´ee de celui-ci) est 1/2. Les r´esultats de Russo, Seymour et Welsh impliquent alors que
laprobabilit´equ’ilexisteuncheminreliantdeuxbordsoppos´esd’ungrandrectangle(lerapport
des longueurs ´etant fix´e) est minor´ee et major´ee; ou plutˆot, `a rectangle fixe, on fait tendre la
maille du r´eseau vers z´ero. Ceci indique qu’on pourrait d´efinir des ´ev´enements macroscopiques
non d´eg´en´er´es, qui sont des observables pour la “limite continue” de la percolation critique.
Les deux caract`eres (conjecturaux) majeurs de cette limite continue sont l’universalit´e et
l’invariance conforme (voir [32]). L’universalit´e stipule que la limite continue ne d´epend pas
du mod`ele de percolation critique choisi (mˆeme si la probabilit´e critique p varie). Selon l’in-c
variance conforme, les probabilit´es d’observables associ´ees `a deux configurations g´eom´etriques
conform´ement´equivalentessont´egales.End’autrestermes,cesprobabilit´esd´efinissentdesfonc-
tions sur l’espace de modules de la configuration. Par exemple, la probabilit´e que deux cˆot´es
oppos´es d’un quadrilat`ere conforme soient reli´es par une composante connexe du graphe de
percolation ne doit d´ependre, dans la limite continue, que de la classe d’´equivalence conforme
du quadrilat`ere. Ces deux conjectures ont ´et´e test´ees num´eriquement ([32]).
Remarquons qu’on ne peut d´efinir sans pr´ecaution cette limite continue (“assigner au ha-
sard une couleur `a chaque point du plan”), pour des raisons ´evidentes de mesurabilit´e. Une
mani`ere de pr´eserver `a la limite une partie significative de l’information consiste `a consid´erer
les processus d’exploration. Consid´erons ainsi la percolation de site sur le r´eseau triangulaire
(ouplutˆot,demani`ere´equivalente, lapercolationdefacessurler´eseauhexagonal).Undomaine
born´e du plan est approch´e par une portion d’un r´eseau hexagonal avec une petite maille; le
bord est s´epar´e en deux arcs, et on fixe les conditions aux bord suivantes : chacun des deux
arcs estcolori´ed’unecouleur diff´erente (disons bleuetjaune).Lechemin d’exploration estalors
l’unique chemin simple sur les arˆetes du r´eseau s´eparant les faces bleues reli´ees `a l’arc bleu des
faces jaunes reli´ees `a l’arc jaune. Ce chemin relie les deux points du bord qui sont `a la jonction
des deux arcs.
Le r´esultat cl´e de Smirnov est alors le suivant : quand la maille du r´eseau tend vers z´ero,