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# Un exemple de non dérivabilité en géométrie du triangle

Description

Un exemple de non-dérivabilité en géométrie du triangle Jacques Dixmier, Jean-Pierre Kahane et Jean-Louis Nicolas? 15 juin 2007 Abstract. Let T be a triangle in a Euclidean plane. If f(T ) denotes the triangle whose vertices are the midpoints of the edges of T , and if we iterate the function f , the situation is simple : all triangles fn(T ) are homothetic and tend to the centroid of T . But, if g(T ) denotes the triangle whose vertices are the feet of the altitudes of T , the problem is not so easy. We shall see that gn(T ) tends to a point L(T ), a new point geometrically linked to T and that L(T ) is a continuous function, in fact hölderian, but is everywhere non-differentiable, hence the title of this paper. In part 1, the existence of L(T ) is proved and its coordinates are calculated in a simple system of axes tied to T . If the circle ?(T ) circumscribed to T is fixed, T depends on three angles ?, ?, ?. By rotation, we may require that ? + ? + ? = 0 so that L(T ) becomes a function L(?, ?) of two variables, and the coordinates of L(T ) become trigonometric series of lacunary type.

• triangles fn

• propriétés de régularité et d'irrégularité de séries

• séries d'exponentielles imaginaires

• o? ?

Subjects

##### Kahane

Informations

Un exemple de non-dérivabilité en géométrie
du triangle
∗Jacques Dixmier, Jean-Pierre Kahane et Jean-Louis Nicolas
15 juin 2007
Abstract. Let T be a triangle in a Euclidean plane. If f(T) denotes the triangle
whose vertices are the midpoints of the edges of T, and if we iterate the function f,
nthe situation is simple : all triangles f (T) are homothetic and tend to the centroid
of T. But, if g(T) denotes the triangle whose vertices are the feet of the altitudes
nof T, the problem is not so easy. We shall see that g (T) tends to a point L(T),
a new point geometrically linked to T and that L(T) is a continuous function, in
fact hölderian, but is everywhere non-diﬀerentiable, hence the title of this paper.
In part 1, the existence of L(T) is proved and its coordinates are calculated in
a simple system of axes tied to T. If the circle Γ(T) circumscribed to T is ﬁxed, T
depends on three angles α,β,γ. By rotation, we may require that α+β +γ = 0
so that L(T) becomes a function L(α,β) of two variables, and the coordinates
of L(T) become trigonometric series of lacunary type. In part 2, some properties
of regularity and irregularity of more general series (lacunary series of imaginary
dexponentials inR ) are given; from them, the behaviour ofL(T) asdescribed above
follows. In part 4, the extreme values of the distance between the point L(T) and
the center O(T) of Γ(T) are studied. We show that L(T) = O(T) if and only if T is
4equilateral, that L(T)O(T)≤ R(T) for all triangles T, where R(T) is the radius
3
4 π 2π 4πof Γ(T), and that L(T)O(T) = R(T) if and only if the angles of T are , , ·3 7 7 7
In part 5, we shall see that the image of the application (α,β) →L(α,β) is the
When T is an isosceles triangle, L(T) belongs to the symmetry axis of T, and
its abscissa on this axis is given, after normalization, by the following Weierstrass–
Hardy function :
1 1 12 2 2 2x(t) = sin t− sin 2t+ sin 4t− sin 8t+...
2 4 8
1 1 1 1
= − cos2t+ cos4t− cos8t+...
3 2 4 8
In part 3, we give detailed informations concerning this function : its minimum, its
maximum, its local behaviour around t = 0 (which is of fractal type), etc.
∗Recherche ﬁnancée par le CNRS, Institut Camille Jordan, UMR 5208.
1Introduction
Soit T un triangle dans un plan euclidien. Si l’on note f(T) le triangle
formé par les milieux des côtés, et si l’on itère, la situation est simple : les
ntriangles f (T) sont tous homothétiques et tendent vers le centre de gravité
deT. Mais si l’on noteg(T)le triangle formé par les pieds des hauteurs, l’ité-
nration pose des problèmes plus diﬃciles. Lesg (T) tendent, on le verra, vers
un point L(T), un nouveau point attaché géométriquement à T et L(T) est
une fonction continue, en fait höldérienne, mais partout non diﬀérentiable;
cela justiﬁe le titre de cet article.
La partie 1 prouve l’existence deL(T) et calcule ses coordonnées dans un
repère lié simplement àT. Si le cercle Γ(T) circonscrit àT est ﬁxé,T dépend
de trois angles α,β,γ. Par rotation, imposons α +β +γ = 0 de sorte que
L(T) devient une fonction de deux angles α et β :
∞X 1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ −(−2) i(α+β)(0.1) L(T) =L(α,β) = (−1) 2 e +e +e .
2
n=0
La partie 2 démontre des propriétés de régularité et d’irrégularité de séries
dplus générales (séries d’exponentielles imaginaires lacunaires dansR ); d’où,
en particulier le comportement annoncé de L(T). Dans la partie 4, on étu-
die les valeurs extrêmes de la distance du point L(T) au centre O(T) de
Γ(T). On montre que L(T) = O(T) si et seulement si T est équilatéral,
4que L(T)O(T) ≤ R(T) (R(T), rayon de Γ(T)) pour tout triangle T, et
3
4 π 2π 4πque L(T)O(T) = R(T) si et seulement si les angles de T sont , , ·
3 7 7 7
Dans la partie 5, on montre que l’image de l’application (α,β) →L(α,β) est
Quand T est isocèle, L(T) appartient à l’axe de symétrie de T et son
abscisse sur cet axe est donnée, après normalisation, par la fonction de
Weierstrass–Hardy suivante :
1 1 12 2 2 2x(t) = sin t− sin 2t+ sin 4t− sin 8t+...
2 4 8
1 1 1 1
= − cos2t+ cos4t− cos8t+...
3 2 4 8
Dans lapartie3,nousdonnonsdesinformationsdétaillées surcette fonction:
son minimum, son maximum, son comportement local autour de t = 0 (qui
est de type fractal), etc.
Nous avons plaisir à remercier X. Roblot et M. Deléglise pour l’aide ap-
portée à l’élaboration des ﬁgures ainsi que J. A. Bondy pour la traduction
en anglais du résumé.
21 Existence et calcul de L(T)
1.1. Pour tout triangle T, on notera Γ(T) le cercle circonscrit à T, O(T) et
R(T) le centre et le rayon de Γ(T),ω(T) le centre du cercle d’Euler,G(T) le
centre de gravité.
Rappelonsquelecercle d’Euler(oucercledesneufpoints)d’untriangleT
passe par les pieds des hauteurs, par les pieds des médianes et par les milieux
des segments joignant l’orthocentre H(T) aux trois sommets. De plus, les
−→ −→1points O,G,ω et H sont alignés, ω est le milieu de OH et Gω =− GO.
2
1.2. On part d’un cercle Γ de centre O et de rayon R. Soit A,B,C ∈ Γ et
T = (A,B,C). Identiﬁant le plan àC, on peut écrire
iα iβ iγA =O+Re B =O+Re C =O+Re
où α,β,γ sont des angles modulo 2π (la ﬁgure 1 a été tracée avec α =
o o o70 ,β = 198 et γ = 342 ). On a
1
G =G(T) = (A+B +C).
3
1 ′Soit H l’homothétie de centre G et de rapport− . On a H(Γ) = Γ, cercle
2
′ e e ed’Euler de T, H(O) = O = ω(T). Les points A = H(A),B = H(B),C =
H(C) sont les milieux de BC,CA,AB. On a
1 1 3 1′O = G− (O−G) =− O + G = (A+B +C−O)
2 2 2 2
1 iα iβ iγ= 2O +Re +Re +Re
2
1 iα iβ iγ(1.1) = O+ R e +e +e .
2
′ 1 1 iαeD’autre part, A−O =− (A−O) =− Re , donc
2 2
1 1 1′ iα ′ iβ ′ iγe e e(1.2) A =O − Re B =O − Re C =O − Re .
2 2 2
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Soient A,B,C les pieds des hauteurs de T. On dira que T = (A,B,C )
est le triangle descendant de T. On a
′ ′ ′ ′e e eA,B,C,A,B,C ∈ Γ
′ ′ ′e e e ee ee eeAA (resp. BB,CC ) parallèle à BC (resp. CA,AB).
3′ ′ 1 iδDonc, si l’on écrit A = O − Re , on a α +δ ≡ β +γ (mod 2π) d’après
2
(1.2). Par suite
1 1 1′ ′ i(β+γ−α) ′ ′ i(γ+α−β) ′ ′ i(α+β−γ)(1.3) A =O− Re B =O− Re C =O− Re .
2 2 2
1.3. En particulier, siα+β+γ≡ 0 (mod 2π), les formules (1.3) deviennent
1 1 1′ ′ −2iα ′ ′ −2iβ ′ ′ −2iγ(1.4) A =O − Re B =O − Re C =O − Re .
2 2 2
A
′C
′(Γ)
(Γ)
′B
He eC B
ω
G
O
B C′e AA
Le cercle d’Euler du triangle (A,B,C)
Figure 1
1.4. On notera que le cercle d’Euler n’est déﬁni, en principe, que si A,B,C
′ ′ ′ ′sont distincts. Mais les formules pourO,A,B,C gardent un sens dans tous
les cas. Si par exemple, A =B, on a α =β, donc
1 1 1′ ′ iγ iα iα iγ iγ iαA =O − Re =O + R e +e +e − Re =O +Re =A
2 2 2
4
bbbb′et de même B =B =A.
1.5. Passons à l’itération. T,A,B,C,O seront notés T ,A ,B ,C ,O , et0 0 0 0 0
′ ′ ′ ′ ′T ,A,B,C,O seront notés T ,A ,B ,C ,O . Désignons par D = D(R,α,1 1 1 1 1
β,γ) la transformation de (O,A ,B ,C ) en (O ,A ,B ,C ) déﬁnie par les0 0 0 1 1 1 1
formules (1.1) et (1.4). Ces formules gardent un sens lorsque R est négatif;
1on peut donc poser R =− R et itérer1 2
nD (O,A,B,C) = (O ,A ,B ,C ).n n n n
On posera T = (A ,B ,C ), n-ième descendant de T =T = (A ,B ,C ).n n n n 0 0 0 0
1.6. Lemme. On suppose α+β +γ≡ 0 (mod 2π) et R = 1. Alors O , A ,n n
B , C ont une limite commune L(T) quand n→∞ et l’on an n
∞X 1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ (−2) iγL(T) =O+ (−1) 2 e +e +e .
2
n=0
iα iβ iγOn a O =O, R = 1, A =e , B =e , C =e , puis, utilisant (1.1)0 0 0 0 0
et (1.4),
1 1 1iα iβ iγn n nA =O + R e B =O + R e C =O + R en n n n n n n n n
2 2 2
avec
n −nα =−2α , β =−2β , γ =−2γ , R = (−1) 2n n−1 n n−1 n n−1 n
1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ (−2) iγO =O + (−1) 2 e +e +en+1 n
2
d’où
1 1iα iβ iγ −2iα −2iβ −2iγO = O+ e +e +e − e +e +e +...n+1
2 4
1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ (−2) iγ+ (−1) 2 e +e +e
2
doncO a une limiteL(T). CommeR → 0, on voit queA ,B ,C →L(T).n n n n n
1.7. Soit T = (A,B,C) un triangle, O = O(T). Soit Δ un axe passant par
−→ −→ −→
O. La condition (Δ,OA)+(Δ,OB)+(Δ,OC)≡ 0 (mod 2π) déﬁnit 3 axes
2πΔ ,Δ ,Δ faisant entre eux des angles de ± . On les appellera les axes1 2 3 3
ternaires de T. Nous pouvons alors reformuler le lemme 1.6 de la manière
suivante :
1.8. Proposition. Soient T un triangle tel que R(T) = 1, et O = O(T).
On prend O pour origine, et les axes Ox,Oy tels que Ox soit l’un des axes
5iα iβternaires deT, d’où une identiﬁcation du plan àC. PosonsA =e ,B =e ,
iγC =e . Alors
∞X 1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ (−2) iγL(T) =L(α,β,γ) = (−1) 2 e +e +e .
2
n=0
Comme α + β + γ ≡ 0 (mod 2π), la fonction L(α,β,γ) sera souvent
considérée comme une fonction de α,β seulement et notée L(α,β).
1.9. On a
L(α+2π,β) =L(α,β +2π) =L(α,β)
L(β,α) =L(α,β)
L(−α,−β) =L(α,β)
2π 2π 2iπ
3L(α+ ,β + ) =e L(α,β)
3 3
L(α,β) =L(α,−α−β) =L(β,−α−β).
Dans le plan des (α,β), considérons le carré [0,2π]× [0,2π], réunion de 4
triangles fermés, suivant la ﬁgure 2.
β

T4
T T1 3
T2
α
O 2π
Figure 2
Toutpointduplanestcongrumodulo2πZ×2πZàunpointducarré.Comme
L(β,α) =L(α,β), tout pointL(α,β) est obtenu en faisant varier (α,β) dans
T ∪T . Comme1 4
(1.5) L(2π−β,2π−α) =L(−β,−α) =L(−α,−β) =L(α,β)
il suﬃt d’étudier L(α,β) pour (α,β) parcourant T . Nous verrons en 4.4 et1
en 4.13 une partition du triangleT relativement aux valeurs prises par L.1
6Voyons ce qui se passe sur les droites qui bordent T . Pour α = 0, on a1
β ≡−γ (mod 2π), A = 1. Pour α +β = 2π, on a γ ≡ 0 (mod 2π), C = 1.
Dans les deux cas, (A,B,C) est isocèle avec Ox pour axe de symétrie. On
oreviendra sur ce cas aun 1.15.Pourα =β,onaA =B, letriangle (A,B,C)
oest dégénéré, L(T) =A =B d’après le n 1.4, donc L(T) parcourt Γ.
1.10. La proposition 1.8 entraîne l’équation fonctionnelle suivante :
iα iβ −i(α+β)2L(α,β) =e +e +e −L(−2α,−2β).
1.11.Remarque.SiT estéquilatéral,letriangledescendantapoursommets
oles milieux des côtés, donc L(T) = O(T). Nous verrons au n 4.12 que la
réciproque est vraie.
1.12. Remarque. Soit H l’orthocentre de (A,B,C), de sorte que{A,B,C,
H}estune“conﬁgurationorthocentrique”.Lestriangles (A,B,C), (H,B,C),
(H,C,A), (H,A,B) ont même descendant, donc
L(A,B,C) =L(H,B,C) =L(H,C,A) =L(H,A,B).
o 2π πb b bCela, combiné avec le n 1.11, prouve que si A = , B = C = , on a
3 6
L(A,B,C) =A.
21.13. Lafonction (α,β) →L(α,β)est une application continue de (R/2πZ)
2dans le plan. L’image de (R/2πZ) parL est une partie compacteK du plan,
connexe par arcs, symétrique par rapport àOx, invariante par la rotation de
2π ocentre O et d’angle . On a Γ⊂K (cf. n 1.9).
3
Problème 1 : La frontière de K est elle une courbe de Jordan fermée?
Problème 2 : K est-il simplement connexe? En particulier, le disque de
bord Γ est-il contenu dans K?
On prouvera en 5.10 que K est l’adhérence d’un ensemble ouvert, autre-
ment dit, que l’intérieur de K est dense dans K.
1.14. Il est intéressant de savoir à quel pointL(T) peut être éloigné deO. Il
s’agit donc de calculer le nombre suivant :
μ = sup O(T)L(T)/R(T)
la borne étant prise sur tous les triangles. On a
μ = sup|L(α,β)|
olaborneétantprisesurtouslescouples(α,β).Onverraaun 4.9queμ = 4/3.
7Si un triangle T a tous ses angles aigus, l’orthocentre H est à l’intérieur
de T, donc O(T)H ≤ R(T). Or O (T) = ω(T) est le milieu de O(T)H,1
1donc O(T)O (T) ≤ R(T). On a L(T) = L(T ), donc O (T)L(T) =1 1 12
1 1O(T )L(T ) ≤ μR(T ) = μR(T). Ainsi, O(T)L(T) ≤ (1 + μ)R(T) =1 1 1 2 2
7R(T).
6
1.15. Cas particulier. Supposons T isocèle, et plus précisément AB = AC.
L’un des axes ternaires de T est son axe de symétrie orienté de O vers A.
Alors, α = 0, β =−γ. Le point L(T) appartient à Ox et son abscisse est
∞X 1
n −n nL(0,β) = (−1) 2 +cos2 β
2
n=0
1 1 1 1
= +cosβ− cos2β + cos4β− cos8β +...
3 2 4 8
Nous déﬁnissons la fonction t →x(t) par
1 1 1
2 2 2 2(1.6) x(t) = sin t− sin 2t+ sin 4t− sin 8t+...
2 4 8
Alors
(1.7) L(T) =L(0,β) = 1−2x(β/2).
Voir la partie 3 pour des détails concernant la fonction x(t). Son maximum
est 1.023274..., son minimum est −0.1423503.... Donc l’ensemble K du
on 1.13 contient le segment [−1.0465,1.2847] de Ox.
1.16. Remarque. On suppose que α,β ∈ Qπ. Alors L(T) est un nombre
algébrique et même cyclotomique.
Soit q un entier, q > 1. Il existe des entiers j ,r > 0 tels que la suite0
j((−2) modq) admette la période r. En eﬀet, il existe j ,r > 0 telsj≥j 00
j j +r j +1 j +1+r0 0 0 0que (−2) ≡ (−2) (mod q) et alors (−2) ≡ (−2) (mod q),
j +2 j +2+r0 0(−2) ≡ (−2) (mod q),...
Si α,β∈Qπ, il existe un entier q> 0 tel que α,β∈ (2π/q)Z. D’après ce
qui précède, la suite
n n n(−2) iα (−2) iβ −(−2) i(α+β)e +e +e
admet la périoder à partir d’un certain rang. AlorsL(α,β) est somme d’un
nombre ﬁni de termes cyclotomiques (le début de la série L(α,β)) et de r
sommes inﬁnies dont chacune est de la forme

n r 2r(−1) n n n (−1) (−1)(−2) iα (−2) iβ −(−2) i(α+β)e +e +e 1+ + +...
n r 2r2 2 2
8donc est cyclotomique.
Soient T ,T ,... les triangles descendants de T. D’après ce qui précède1 2
et les formules de 1.6, pour n assez grand, T se déduit de T par unen+r n
homothétie H . Soit Ω son centre. Comme H (U ) = (H (U)) pour toutn n r n r
triangleU,onaH (T ) = (H (T )) = (T ) =T ,doncH (T ) =n n+r n n r n+r r n+2r n n+2r
T , etc... Donc Ω =L(T).n+3r
2 Régularités et irrégularités locales de L(T).
2.0. La proposition 1.8 nous permet d’écrire
∞X 1 n n nn −n (−2) iα (−2) iβ −(−2) i(α+β)(2.1) L(T) =L(α,β) = (−1) 2 e +e +e
2
n=0
avec α et β réels modulo 2π, et, si on le désire, par 1.9, on peut restreindre
2πl’étude de L(α,β) au domaine 0≤α≤ , α≤β≤ 2π−α (intersection du
3
2πtriangleT de la ﬁgure 2 et de la bande verticale 0≤α≤ ). Nous préférons1 3
2nous en tenir à (α,β)∈ (2πT) et α+β +γ≡ 0 (mod 2π).
Le spectre de L(α,β), que nous désignerons par S (= Sp L(α,β)), est
2constitué des points de Z de la forme (cf. ﬁgure 3)
n n n n((−2) ,0), (0,(−2) ), (−(−2) ,−(−2) ) (n∈N).

2de tout point s∈S à S\{s} est minorée par qksk; ici q = convient.
2
1
1
2L’ensemble S dans Z
Figure 3
Voici les résultats que nous établirons.
9
bbbbbbbb2.1. Proposition.
21. La fonctionL(α,β), déﬁnie sur (2πT) , est höldérienne d’ordreη pour
tout η < 1. Plus précisément, il existe une constante absolue C telle que,
1quels que soient α,β,h,k avec|h|+|k|≤ , on ait
2
1
(2.2) |L(α+h,β +k)−L(α,β)|≤C(|h|+|k|)log ·
|h|+|k|
2. La fonctionL(α,β) appartient à la classe Λ de Zygmund. Cela signiﬁe
qu’il existe une constante C telle que, quels que soient α,β,h,k, on ait
(2.3) |L(α+h,β +k)+L(α−h,β−k)−2L(α,β)|≤C(|h|+|k|).
3. Étant donné un angle ϕ∈ 2πT, posons

iϕℓ(α,β) =ℜ e L(α,β) .
2Quel que soit ϕ, il existe un ensemble dense de points (α,β) ∈ (2πT) tels
que
(2.4) ℓ(α+h,β +k)−ℓ(α,β) =O(|h|+|k|) (|h|+|k|→ 0).
4. La fonctionℓ(α,β) n’est diﬀérentiable nulle part, c’est-à-dire que pour
aucun choix de (α,β) et des réels a et b on n’a
(2.5) ℓ(α+h,β +k)−ℓ(α,β)−ah−bk =o(|h|+|k|) (|h|+|k|→ 0).
5. Sauf les exceptions signalées ci-dessous, la fonction ℓ(α,β) n’est diﬀé-
rentiable nulle part dans aucune direction, c’est-à-dire que pour aucun choix
de (α,β) et des réels θ et a on n’a
(2.6) ℓ(α+hcosθ,β +hsinθ)−ℓ(α,β)−ah =o(|h|) (|h|→ 0).
Les exceptions sont, avec γ =−α−β :
π n n na) ϕ = et∃n∈N : 2 α≡ 0 ou 2 β≡ 0 ou 2 γ≡ 0 (mod 2π)
2
n n nb)∃n∈N : 2 (α−β)≡ 0 ou 2 (β−γ)≡ 0 ou 2 (γ−α)≡ 0 (mod 2π)
(ϕ quelconque).
2.2. Remarques.
1.Lesrésultatsd’irrégularitépourℓ(α,β)(points4et5)sontévidemment
valables pour L(α,β). Par contre, le résultat du point 3, concernant ℓ(α,β),
est nettement plus faible que sa transcription à L(α,β) que nous ne savons
pas établir.
2.Lescasd’exception dupoint5sontconstituésdesixfamillesdedroites.
Sur une droite d’une des trois premières familles (cas a)), (α,β) déﬁnit un
10