Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier

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Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2008-2009 Corrige du devoir surveille du 27 avril 2009 Exercice 1. 1. Q : A ? F 7? E[Y 1A] definit une mesure de probabilite sur (?,F) car : (i) pour tout A ? F , Q(A) ≥ 0 (car par hypothese Y ≥ 0) et Q(?) = 0; (ii) si (An)n?N est une famille denombrable d'ensembles disjoints de F , alors Q ( ∞? n=0 An ) = E [ Y ∞∑ n=0 1An ] = ∞∑ n=0 E [ Y 1An ] = ∞∑ n=0 Q(An) en vertu du theoreme de la convergence monotone; (iii) Q(?) = E[Y 1?] = E[Y ] = 1 par hypothese. Soit A ? F un evenement de probabilite P(A) = 0. Alors 1A(?) = 0 pour P-presque tout ? ? ?. Or Y est integrable, d'ou Y < ∞ P-presque surement. Par consequent, Y (?)1A(?) = 0 pour P-presque tout ? ? ?, d'ou Q(A) = E[Y 1A] = 0.

  • variable aleatoire

  • vertu du theoreme de la convergence monotone

  • somme de variables aleatoires

  • esperance conditionnelle

  • pq ?

  • fxn

  • x2k ?

  • theoreme d'arret pour les martingales

  • independance


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Master1Math´ematiques,MAT414
Universit´eJosephFourier 20082009
Corrig´edudevoirsurveille´du27avril2009
Exercice 1. 1.Q:A∈ F7→E[Y1Aemuseredeinutenit´esur(probabilΩ´d],F) car : (i) pour toutA∈ F,Q(A)eshte`yhopprraca0(Y0) etQ() = 0; (ii) si (An)nNtnioedseedemnsesblsjdiafenutseblrambno´eedllmiF, alors  h i ∞ ∞∞ ∞ [ XX X   QAn=EY1An=EY1An=Q(An) n=0n=0n=0n=0 envertuduthe´ore`medelaconvergencemonotone; (iii)Q(Ω) =E[Y1Ω] =E[Yse`e.hyarthpop1=] SoitA∈ Fbilit´etdeproba´vnemenenue´P(A) = 0.Alors 1A(ω) = 0 pourPpresque toutωΩ. OrY`u,doable´egrittnseY <P,ntresqpuremuesˆaPcrne.tqeeuno´sY(ω)1A(ω) = 0 pour Ppresque toutωΩ,do`uQ(A) =E[Y1ACeci montre que si] = 0.A∈ Ferv´eiP(A) = 0 alorsQ(A,taltnideremA.tuit´eabilp0r=o)bQnitnoctnemulosba`artpoaprrpaueestP. 2. OnnoteL,F,Potaeserielba´laseer´eslledesvari)lespacPrussemperreqˆuueess´ernbont ,F,P). SoitXL,F,P),XixtsI.elustiueen0noitte´se´gaseroecanisdetencfo Xn:ωR+telle queXn(ω)X(ω) pourPpresque toutωdeontinied´arp,rO.ΩQ, KnKn X X   vecX=x1 (1) EQ[Xn] =xk,nQAk,n=E[Y Xn] aAn k,nk,n k=0k=0 (iciKnN,xk,n0 etAk,n∈ Fpour toutk= 0, . . . , Knnstructi).Parco´tgearelnoedlni pour la mesureQaconedelr`emh´eootenomonneecevgrntiebtno,oteee)1(tudtrevnedut EQ[X] =limEQ[Xn] =limE[Y Xn] =E[Y X]. n→∞n→∞ ∞ ∞ SiXL,F,Paptssopsvitino,ecr´eit)neX=X+XavecX±L,F,P),X±0. AlorsEQ[X] =EQ[X+]EQ[X] =E[XY]. |X(ω) 3. SoitXL,F,Ppose). Ona=kXkL,F,P)=PessupωΩ|taioerbaellae´.Lavari Z=E[XY|G]/E[Y|G] estPmeruˆseuqserp,tneeee.Eorn´entb E[|X|Y|G]E[aY|G]   Z≤ ≤=aPrepuesqsuˆeremtn. E[Y|G]E[Y|G] PuisqueQ`arteunitnocopparrapestabsolumentP, il s’ensuit queZestQemensˆurtqseuper born´ee.Enparticulier,Zresumelaureloprgbatne´seitQplus,. DeZestGmesurable car E[XY|G] etE[Y|G] le sont.Enfin, pour toutA∈ G,Z1AL,F,P) estGmesurable et donc,dapre`slaquestion2etlesproprie´t´esge´n´eralesdesesp´erancesconditionnelles,     EQZ1A=EZ1AY=E EZ1AY|G=EZ1AE[Y|G]      =E E[XY|G] 1A=E E[XY1A|G] =EXY1A=EQX1A.
Parunicite´(modulounensembledemesurenulle)delesp´eranceconditionnelle,ilvient
E[XY|G] EQ[X|G] =Z= E[Y|G]
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