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Exampleofthemdugmfonts. PaulPichaureau 29janvier2006 Résumé Thepackagemdugmconsistsofafullsetofmathematicalfonts,designedto becombinedwithurwgaramondasthemaintextfont.

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Published 27 August 2012
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Language English

Exrait

Example of themdugmfonts.
Paul Pichaureau
29 janvier 2006
Résumé The packagemdugmconsists of a full set of mathematical fonts, designed to be combined with urw garamond as the main text font. This example is extracted from the excellent bookMathématiques pour la phy-sique et les physiciens, W. Appel, Paris, éd. H.& K., 1999.
1 Dérivationde la transformée de Fourier On a la relation très importante entre T.F. et dérivation :
1 Théorème 10.22SoitfL(R)une fonction décroissant suffisamment vite k1 e pour quex7→x f(x)soit également dans L(R)pourk=0, . . . ,n. Alorsfest nfois dérivable et on a   k(k) e F(2iπx)f(x) =f(ν)pourk=1, . . . ,n.
1n Inversement, sifL(R), sifest de classeCet si, de plus, les dérivées (k) successivesfsont intégrables pourk=1, . . . ,n, alors on a   (m)m e Ff(x) =(2iπν)f(ν)pourk=1, . . . ,n.
Notamment, on retiendra que :  d e e 0 Ff(x) =2iπνf(ν)etF(2iπx f(x)) =f(ν). dν 2iπνxPour toutxR, la fonctionν7→f(x)e estde classeC, de dérivéek-k ième bornée en module par(2πx)f(x), qui est intégrable. On applique alors le théorème de dérivation sous le signe somme, qui nous donne Z Z h i d e 02iπνx2iπνx f(ν) =f(x)e dx= (2iπx)f(x)e dx dν
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puis, par une récurrence immédiate, la première formule. On rappelle que pour toute fonction intégrableφ, on a Z Z R φ(x)dx=limφ(x)dx. R+R
0 Puisquefest intégrable, on a donc Z R   0 02iπνx Ff(ν) =limf(x)e dx R+R ¨ « Z R   R 0 −2iπνx2iπνx =limf(x)e+ (2iπνx)f(x)e dx. R R+R
Commefest sommableainsi que sa dérivée,fadmet une limite nulle en±∞. La formule précédente nous montre alors, en faisant tendre R vers l’infini, que Z Z 0 −2iπνx2iπνx f(x)e dx= (2iνx)f(x)e dx,
ce qui nous montre la deuxième formule pourk=1. Une récurrence surkpermet de conclure. Walter Appel,Mathématiques pour la physique et les physiciens
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