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(a,b)modules auto-adjoints et formes hermitiennes, Self-adjoint (a,b)-modules and hermitian forms

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Sous la direction de Daniel Barlet
Thèse soutenue le 10 décembre 2009: Nancy 1
Dans cette thèse nous présenterons un travail relatif à la théorie des (a,b)-modules. Nous nous intéresserons en particulier à trois problèmes liés à la dualité des (a,b)-modules: l'existence de formes hermitiennes, la symétrie des suites de Jordan-Hölder et la relation avec les higher residue pairings de K. Saito. Dans la première partie on étudie les équivalents des concepts de conjugué, adjoint et de forme hermitienne dans le contexte des (a,b)-modules. Dans notre analyse des formes hermitiennes nous sont amenés à définir la notion de (a,b)-module indécomposable et à montrer l'analogue du théorème de Krull-Schmidt dans la théorie des modules sur un anneau commutatif. On montre par la suite l'existence de formes ou bien hermitiennes ou anti-hermitiennes sur les modules réguliers indécomposables auto-adjoints et on donne un exemple non trivial de rang 4 admettant uniquement une forme anti-hermitienne. Suit une étude des suites de Jordan-Hölder de (a,b)-modules auto-adjoints. L'intérêt se porte en particulier sur les suites de Jordan-Hölder dites elles aussi auto-adjointes et on en montre l'existence, pour tout (a,b)-module régulier auto-adjoint. En guise de conclusion on applique les résultats obtenus aux (a,b)-modules associés à une hypersurface à singularité isolée, c'est-à-dire au complété formel de son module de Brieskorn. On montre que le symétrisé de l'isomorphisme avec l'adjoint donné par R. Belgrade satisfait aux axiomes donnés par K. Saito dans la présentation de ses higher residue pairings
-(ab)-modules
-Singularités
-Géométrie complexe
-Module de Brieskorn
-Dualité
In this thesis we present a work regarding the theory of (a,b)-modules. We are particularly interested in three problems related to the duality of (a,b)-modules: the existence of hermitian forms, the symmetry of Jordan-Hölder composition series and the relation with the higher residue pairings of K. Saito. In the first part we study the concepts of conjugate, adjoint and hermitian form in the theory of (a,b)-modules. Our analysis of hermitian forms brings us to the proof of the analogue of the Krull-Schmidt theorem in the theory of modules over a commutative ring. We prove afterwards the existence of either a hermitian or an anti-hermitian form on regular indecomposable self-adjoint (a,b)-modules and we give a non trivial rank 4 example of module that admits only an anti-hermitian form. Follows a study of the Jordan-Hölder composition series of self-adjoint (a,b)-modules. We are in particular interested in a kind of composition series also called self-ajoint, whose existence we prove for every regular self-adjoint (a,b)-module. In the last part the results obtained are applied to (a,b)-modules associated to a hyper-surface with an isolated singularity, i.e. to the formal completion of the Brieskorn module. We show that a symmetrized form of the isomorphism with the adjoint given by R. Belgrade satisfies the axioms given by Saito for his higher residue pairings
Source: http://www.theses.fr/2009NAN10143/document

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Karw
ourg.
abus
Je
j'aurais
sa
commettre
v
n
ais
p
que
u
c
au
haque
t
fois
fait

aciller
j'étais
amitié.
prêt
r
à
une
abandonner,
merci
elle
Nancy
était
le

mars
p
Piotr
our
.
moi
asz
et
lesCONTENTS
8trivial
tatio
guise
tro
on
duction
se
(français)
formel
Dans
hmidt
cette
sur
thèse
dédié
nous
e
prése
d-
n
phisme
terons
à
un
es
tra
ormes
v
ts
ail
une
relatif
K.
à
de
la
our
théo
obten
r
ersurface
i
On
e
[Bel01]
des
dule
p
du
In
des
pairings.
comm
q
suite
-mo
tiennes
dules.
dules
Nous
un
nous
admettan
in
Suivra
téresse
Jordan-Hölder
r
auto-adjoin
o
particulier
n
elles
s
mon
en
régulier
particulier
appli
à
par
trois
à
problèmes
c
liés
dule
à
le
la
r
dualité
9
des
q
p
la
residue
trer
gher
de
q
la
-mo
d
dules
un
que
On
nous
par
traiterons
de
dans
bien
les
an
c
s
hapitres
osables
2,
on
3
xemple
et
rang
4
uniquemen
de
an
ce
c
man
suites
uscrit.
p
V
-mo
u
L'in
la
ortera
relativ
les
e
Hölder
nouv
auto-adjoin
eauté
on
du
l'existence,
sujet,
(a,b)-mo
en
t.
particulier
conclusion
en
les
ce
aux
qui
q
concerne
asso
la
h
dualité
singularité
des
au
p
son
hi
Briesk
ses
trera
q
de
-mo
p
dules,
Belgrade
le
aux
premi
p
er
présen
c
-mo
hapitre
indécomp
sera
et
dédié
mon
à
l'analogue
un
théorème
rapp
Krull-Sc
el
dans
des
théorie
principaux
mo
concepts
ul
et
sur
r
anneau
é
utatif.
sultats
m
de
trera
cette
la
théorie.
l'existence
Nous
f
nous
ou
concen
hermi-
trerons
ou
plus
ti-hermitiennes
particulièremen
le
t
mo
sur
indécomp
les
auto-adjoin
su
et
i
donnera
tes
e
de
non
Jordan-Hölder
de
e
dans
t
t
les
t
in
forme
v
ti-hermitienne.
arian
un
ts
hapitre
de
aux
ces
de
suites.
de
Dans
Saito
le
q
c
dules
hapitre
ts.
suiv
térêt
an
p
t,
en
en
sur
se
suites
basan
Jordan-
t
dites
sur
aussi
la
tes
dénition
t
de
en
dual
trera
d'un
p
p
tout
de
dule
n
auto-adjoin
q
En
-mo
de
dule,
on
on
quera
exp
résultats
osera
us
le
p
concept
donnés
de
-mo
mo
ules
dule
ciés
adjoin
une
t
yp
et
à
de
isolée,
forme
'est-à-dire
her-
complété
mitienne.
de
Dans
mo
notre
de
analyse
orn.
des
mon
forme
que
s
symétrisé
hermitiennes
l'isomor-
nous
donné
serons
a
amenés
R.
à
dans
dénir
satisfait
la
axiomes
notion
de
osable
a;b
a;b
a;b
a;b
a;b
4
a;b
a;b