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Characterization of acoustic waves in multi-layered structures [Elektronische Ressource] / Oleg Pykhteev

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Published 01 January 2010
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Language English
Document size 3 MB

Technische Universit at Munc hen
Zentrum Mathematik
Characterization of Acoustic Waves in
Multi-Layered Structures
Oleg Pykhteev
Vollst andiger Abdruck der von der Fakult at fur Mathematik der Technischen Universit at
Munc hen zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Rupert Lasser
Prufer der Dissertation: 1. Dr. Dr. h.c. mult. Karl-Heinz Ho mann
2. Univ.-Prof. Dr. Martin Brokate
3. Dr. Kunibert G. Siebert
Universit at Duisburg-Essen
(schriftliche Beurteilung)
Die Dissertation wurde am 20. Juli 2010 bei der Technischen Universit at Munc hen ein-
gereicht und durch die Fakult at fur Mathematik am 20. Dezember 2010 angenommen.Abstract
The work is devoted to the modeling of acoustic waves in multi-layered structures sur-
rounded by a uid and consisting of di erent kinds of materials including piezoelectric
materials and composite multilayers. It consists of three parts. The rst part describes the
modeling of an acoustic sensor by the nite element method. The existence and uniqueness
of a time-harmonic solution are rigorously established under physically appropriate assump-
tions. It is shown that the elimination of nonzero eigenvalues of the arising Helmholtz-like
system can be achieved by introducing an additional term that causes the damping e ect
near the boundary. We also establish the well-posedness of the discretized problem and
the convergence of Ritz-Galerkin solutions to the solution of the exact problem. Besides,
we derive a domain decomposition schema for the numerical treatment of the problem.
Finally, the results of 3D simulations are presented.
The second part of the work presents a semi-analytical method for the fast character-
ization of plane acoustic waves in multi-layered structures. The method identi es plane
waves that can possibly exist in a given structure, determines their velocities, and com-
putes the dispersion relation curves. It handles multi-layered structures composed of an
arbitrary number of layers made of di erent material types. The in uence of a surrounding
uid or dielectric medium can also be taken into account. The software implementing this
approach is presented.
The third part investigates a number of issues of the homogenization theory for linear
systems of elasticity. The results presented here are exploited in the previous part for
the modeling of acoustic waves in composite materials called multilayers. Such materials
consist of huge number of very thin periodic alternating sublayers. In this part we rigorously
derive the limiting equations in the general three-dimensional case by the two-scale method
2and establish an error estimate for the case where the right-hand side is in L . The
homogenization of laminated structures is considered as a special case. For this case an
explicit formula for the elasticity tensor of the homogenized material is derived.
iiiZusammenfassung
Die Dissertation besch aftigt sich mit der Modellierung akustischer Wellen in Mehrschicht-
strukturen, die aus verschiedenen Arten von Materialien bestehen. Unter anderem werden
piezoelektrische Schichten, Schichten aus speziellen Verbundwerksto en und die Struktur
umgebende Fluide betrachtet. Die Arbeit besteht aus drei Teilen. Der erste Teil beschreibt
die Modellierung eines akustischen Sensors mit der Finite Elemente Methode. Die Exis-
tenz und Eindeutigkeit einer zeitharmonischen L osung werden unter aus physikalischer
Sicht vernunftigen Annahmen rigoros bewiesen. Es wird gezeigt, dass die Eliminierung
von nicht trivialen Eigenwerten des entstehenden Helmholtz- ahnlichen Systems mit der
Einfuhrung eines zus atzlichen Terms, der die D ampfung im Randbereich verursacht, erre-
icht werden kann. Wir analysieren auch die Ritz-Galerkin-Approximation des Problems
und beweisen die Existenz und Eindeutigkeit der Ritz-Galerkin-L osungen, sowie die Kon-
vergenz gegen die exakte L osung. Au erdem wird fur das approximierende Problem eine
Domain Decomposition Methode hergeleitet. Schlie lich pr asentieren wir die Ergebnisse
numerischer Simulationen in 3D.
Der zweite Teil der Arbeit beschreibt eine semi-analytische Methode fur die schnelle
Charakterisierung von ebenen akustischen Wellen in Mehrschichtstrukturen. Mit der Meth-
ode k onnen ebene Wellen, die m oglicherweise in einer gegebenen Struktur auftreten, gefun-
den werden, ihre Geschwindigkeiten bestimmt, sowie die Dispersionsrelationen berechnet
werden. Es k onnen Mehrschichtstrukturen aus beliebig vielen Schichten verschiedener Ma-
terialarten, moglicherweise von einem dielektrischen Medium oder einem Fluid umgeben,
behandelt werden. Die fur diese Methode entwickelte Anwendersoftware wird pr asentiert.
Der dritte Teil untersucht einige Fragen aus der Homogenisierungstheorie der linearen
Elastizit at. Die hierbei erzielten Ergebnisse werden im vorherigen Teil der Arbeit fur die
Modellierung akustischer Wellen in speziellen Verbundwerksto en, genannt Multilayers,
verwendet. Solche Materialien bestehen aus sehr vielen sehr dunnen periodisch wechselnden
Teilschichten. In diesem Teil werden die Limesgleichungen im allgemeinen 3D-Fall mit der
Zwei-Skalen-Methode rigoros hergeleitet, sowie eine Fehlerabsch atzung fur den Fall, dass
2die rechte Seite ausL ist. Die Homogenisierung der laminierten Schichtstrukturen wird als
Sonderfall betrachtet. Fur diesen Fall wird eine explizite Formel fur den Elastizit atstensor
des homogenisierten Materials hergeleitet.
vAcknowledgements
First of all I would like to thank Nikolai Botkin, for a lot of time and patience he spent
in our numerous discussions, for his help and continuous encouragment during the work.
Without his in uence this work would not have appeared.
I am deeply thankful to Karl-Heinz Ho mann, for giving me the opportunity to work at
TUM, for his support over the years, and his valuable advices.
viiContents
1 Introduction 1
1.1 Motivation and Object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 State of the Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Finite Element Model of Acoustic Biosensor 9
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Governing equations and Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Mechanical Interface and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Electrical Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Statement of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Additional Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Weak Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Well-Posedness of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Numerical Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.1 Ritz-Galerkin Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.2 Domain Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Simulation results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Dispersion Relations in Multi-Layered Structures 57
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Elastic Multi-Layered Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Analysis of plane waves in elastic media . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 Two-layered structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3 N-layered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Introducing Piezoelectricity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1 Analysis of plane waves in piezoelectric media . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Piezoelectric multi-layered structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.3 Mixed multi-layered structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 Contact with Surrounding Dielectric Medium . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Contact with Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7 Bristle-Like Structure at Fluid-Solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . 82x Contents
3.8 Introducing Multilayers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.9 Constructing Dispersion Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.10 Computer Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.10.1 Numerical Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.10.2 Program Description by Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Homogenization of Linear Systems of Elasticity 101
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Limiting Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Homogenization of Laminated Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5 Rate of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Conclusion 129