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Characterization of intrinsically harmonic forms [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Evgeny Volkov

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Characterization of intrinsically harmonicformsDissertation zur Erlangung des Doktorgrades an der Fakult atfur Mathematik, Informatik und Statistik derLudwig-Maximilians-Universit at Munc henvorgelegt am 21.12.2006 vonEvgeny VolkovErstgutachter: Prof. Dieter Kotschick, D.Phil.Zweitgutachter: Prof. Dr. Kai Cieliebak.Ausw artiger Gutachter: Prof. Dr. Michael Farber.Ausw hter: Prof. Dr. Ko Honda.Tag der mundlic hen Prufung: 15. M arz 2007.3First and foremost I would like to express my gratitude to Dieter Kotschick,for supervising and supporting me during my work. It is impossible to men-tion all the people who helped me on both the mathematical and nonmath-ematical side. So the following list is highly incomplete: Jarek Kedra, whohelped me to prepare for my topology examination with Kai Cieliebak; KaiCieliebak, who invested countless time in answering my endless questions;everybody who I ever met over the chess board, especially Irina Levitina andPavel Kanazirev; and last but not least Mr. Widderich, whose contributionto this work on the side of Kreisverwaltungsreferat Munc hen was equallyimportant.45ToOlga Danilova6Zusammenfassung.Wir beweisen, dass fur eine geschlossene 1-Form auf einer geschlosse-nen, orientierten, zusammenh angenden di erenzierbaren Mannigfaltigkeit,intrinsische Harmonizit at gleichbedeutend ist mit Transitivit at und lokalerinherat. Wir untersuchen beide Eigenschaften getrennt.

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Published 01 January 2007
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Characterization of intrinsically harmonic
forms
Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades an der Fakult at
fur Mathematik, Informatik und Statistik der
Ludwig-Maximilians-Universit at Munc hen
vorgelegt am 21.12.2006 von
Evgeny VolkovErstgutachter: Prof. Dieter Kotschick, D.Phil.
Zweitgutachter: Prof. Dr. Kai Cieliebak.
Ausw artiger Gutachter: Prof. Dr. Michael Farber.
Ausw hter: Prof. Dr. Ko Honda.
Tag der mundlic hen Prufung: 15. M arz 2007.3
First and foremost I would like to express my gratitude to Dieter Kotschick,
for supervising and supporting me during my work. It is impossible to men-
tion all the people who helped me on both the mathematical and nonmath-
ematical side. So the following list is highly incomplete: Jarek Kedra, who
helped me to prepare for my topology examination with Kai Cieliebak; Kai
Cieliebak, who invested countless time in answering my endless questions;
everybody who I ever met over the chess board, especially Irina Levitina and
Pavel Kanazirev; and last but not least Mr. Widderich, whose contribution
to this work on the side of Kreisverwaltungsreferat Munc hen was equally
important.45
To
Olga Danilova6
Zusammenfassung.
Wir beweisen, dass fur eine geschlossene 1-Form auf einer geschlosse-
nen, orientierten, zusammenh angenden di erenzierbaren Mannigfaltigkeit,
intrinsische Harmonizit at gleichbedeutend ist mit Transitivit at und lokaler
inherat. Wir untersuchen beide Eigenschaften getrennt.
Wir betrachten Morse 1-Formen, die auf dem Rand des Inneren der Menge
1nicht-transitiver Formen bezuglic h der C Topologie liegen. Wir zeigen,
dass die Kern-Bl atterung einer solchen 1-Form mindestens ein singul ares
geschlossenes Blatt hat, das mehr als eine Nullstelle der Form enth alt. Fur
die Betrachtung der lokalen intrinsischen Harmonizit at beschr anken wir uns
auf den Fall von Manifaltigkeiten der Dimension zwei. Es stellt sich heraus,
dass die Frage nach lokaler intrinsischer Harmonizit at dann gleichbedeutend
ist mit einer Frage aus der Singularit aten-Theorie di erenzierbarer Funktio-
nen. Wir geben ein Kriterium dafur, dass eine di erenzierbare Funktion auf
2
R in der N ahe von (0 ; 0) di eomorph aquivalent zu ihrem Term h ochster
Ordnung ist, unter der Annahme, dass (0; 0) ein isolierter kritischer Punkt
der Funktion ist.7
Summary.
We prove that for a closed 1-form on a closed oriented connected smooth
manifold intrinsic harmonicity is equivalent to transitivity together with local
intrinsic harmonicity. Then we study the two properties separately. We
consider Morse 1-forms which lie on the boundary of the interior of the set of
1nontransitive forms with respect to theC topology. We show that such a 1-
form has at least 1 singular closed leaf of its kernel foliation containing more
than one zero of the form. For local intrinsic harmonicity we restrict our
attention to the case of dimension two. Then it turns out that the question
of local intrinsic harmonicity is equivalent to a question from the singularity
theory of smooth functions. We give a criterion for a smooth function on
2
R to be di eomorphically equivalent to its leading order term near (0 ; 0),
assuming that (0; 0) is an isolated critical point for the function.8Contents
1 Introduction 11
1.1 History of intrinsic characterization. . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Remarks on the notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Transitivity versus nontransitivity. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 General zero sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Questions from singularity theory. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Preliminaries 25
2.1 Hodge-star operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Homogeneous polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Exponentially small functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Intrinsically harmonic 1-forms 29
4 Transitivity versus nontransitivity 37
4.1 Generalities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Nondegenerate zeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Main Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Smooth functions near critical points. 65
5.1 Main results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Inductive setup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Key algebraic trick: Cauchy-Riemann operator. . . . . . . . . 74
5.4 Approximate solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5 Technical analysis around zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
910 CONTENTS
6 Applications 87
6.1 Finite dimensional reduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Harmonic 1-forms on surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 An example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4 Concluding remarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Appendix 101