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Classification of immersions which are bounded by curves in surfaces [Elektronische Ressource] / von Dennis Frisch

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Classification of Immersions which are Bounded by Curves inSurfacesVom Fachbereich Mathematikder Technischen Universit¨at Darmstadtzur Erlangung des Grades einesDoktors der Naturwissenschaften(Dr. rer. nat.)genehmigteDissertationvonDipl.-Math. Dennis Frischaus LichReferent: Prof. Dr. K. Grosse-BrauckmannKorreferent: Prof. Dr. R. KusnerTag der Einreichung: 04. Februar 2010Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 11. Mai 2010Darmstadt 2010D 17ContentsZusammenfassung iIntroduction vii1 Basic Concepts 11.1 Normal Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Basic Topological Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Preimages of an Immersed Disc in S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Groupings 82.1 The Word Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Reducing the Word . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Decomposing Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Intervals, Groupings and Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Immersed Discs in the Sphere 203.1 Existence of Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Ungroupable Words . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Uniqueness of Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Immersed Surfaces in the Sphere 314.

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Published 01 January 2010
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Document size 1 MB

Classification of Immersions which are Bounded by Curves in
Surfaces
Vom Fachbereich Mathematik
der Technischen Universit¨at Darmstadt
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
genehmigte
Dissertation
von
Dipl.-Math. Dennis Frisch
aus Lich
Referent: Prof. Dr. K. Grosse-Brauckmann
Korreferent: Prof. Dr. R. Kusner
Tag der Einreichung: 04. Februar 2010
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 11. Mai 2010
Darmstadt 2010
D 17Contents
Zusammenfassung i
Introduction vii
1 Basic Concepts 1
1.1 Normal Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Basic Topological Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.3 Preimages of an Immersed Disc in S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Groupings 8
2.1 The Word Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Reducing the Word . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Decomposing Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Intervals, Groupings and Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Immersed Discs in the Sphere 20
3.1 Existence of Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Ungroupable Words . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Uniqueness of Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Immersed Surfaces in the Sphere 31
4.1 Immersed Surfaces with m Boundary Components in the Sphere . . . . . . . 31
4.2 Immersed Surfaces with Nonzero Genus in the Sphere . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Existence of Immersed Surfaces in the Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Uniqueness of Immersed Surfaces in the Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Immersed Surfaces in Closed Surfaces 47
5.1 Immersed Surfaces with m Boundary Components in Closed Surfaces. . . . . 47
5.2 Existence of Immersed Surfaces in Closed Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Uniqueness of Immersed Surfaces in Closed Surfaces . . . . . . . . . . . . . . 56
References 61
Index 63Zusammenfassung i
Zusammenfassung
In viele verschiedenen Gebieten der Mathematik stellt sich die Frage, ob eine gegebene Rand-
wertfunktion auf das Innere fortgesetzt werden kann. In der Funktionentheorie besagt der
1 2RiemannscheAbbildungssatz,dasseineEinbettungf:S →R zueiner diffeomorphenFunk-
2tion F: D→R auf die abgeschlossene Kreisscheibe fortgesetzt werden kann.
In der Theorie der Minimal߬achen stellt das Plateau Problem ein Fortsetzungsproblem
dar. Hier ist dieFortsetzung einer Randkurvef gesucht, die nicht nur differenzierbar sondern
zus¨atzlich auch noch eine Minimalfl¨ache ist.
In der Kategorie der topologischen Mannigfaltigkeien hat Arthur Schoenfliess gezeigt, dass
1 2eine Einbettungf: S →S die Sph¨are in genau zwei Zusammenhangskomponenten zerteilt.
Jede dieser Komponenten ist hom¨oomorph zuD und somit la¨sst sichf zu einem Hom¨oomor-
2phismusF: D→S fortsetzen (Jordan-Schoenfliess Theorem).
Die vorliegende Arbeit untersucht ein Fortsetzungsproblem in der Kategorie der Immersio-`m 1nen. Angenommen f: S →N ist eine Immersion von der disjunkten Vereinigung vonj=1 `m 1KreisenineinegeschlosseneFl¨acheN. WannexistierteineFl¨acheM mitRand∂M = Sj=1
so, dass f zu einer Immersion F: M →N fortgesetzt werden kann? Weiterhin stellt sich die
Frage wieviele verschiedene Fortsetzungen existieren.
1 2Ist f: S → S eine Einbettung, so liefert der Riemannsche Abbildungssatz eine Fortset-
2 1 2zung zu einer Einbettung F: D → S . Sei nun f: S → S eine Immersion, aber keine
Einbettung. Wenn f in geschlossene Einbettungen zerlegt werden kann, so kann jede dieser
Einbettungen auf D fortgesetzt werden. Diese Fortsetzungen k¨onnen zu einer Fortsetzung
von f zusammengeklebt werden.
Es stellt sich die Frage, wie diese Schnitte lokalisiert werden k¨onnen? Betrachten wir das
folgende Beispiel:
Hat diese Immersion eine Fortsetzung auf die abgeschlossene Einheitskreisscheibe? Hat sie
1eine Fortsetzung zu einer anderen Fl¨ache M mit ∂M = S ? Wieviele verschiedene Fortset-
zungen existieren?ii Zusammenfassung
All diese Fragen k¨onnen mit Hilfe eines f zugeordneten Wortes w(f) beantwortet werden.
Um dieses Wort zu bekommen w¨ahlen wir einen Basispunktx undPunktep ,...,p in jeder0 1 k
2 1Zusammenhangskomponenten von S \f(S ). Danach ziehen wir einen Strahl cˆ von p nachj j
1 ±1x . Diese Strahlen schneidenf(S ) und wir markieren die Schnittpunkte voncˆ mita . Der0 j j
1Schnittpunkt ist positiv, wenn der Strahl f(S ) von links nach rechts schneidet und er ist
negativ wenn er von rechts nach links schneidet.
−1 cˆ4acˆ 33
p3 p4 p5s
−1a5
p cˆ2 5
a2
a5
cˆ2
−1 ap 2a1 x1 0
cˆ1 a1 a4
a3 cˆ4
cˆ3
±1Die Strahlen cˆ und die orientierten Schnittpunktea .j j
±1Durch die Wahl eines Startpunktes s k¨onnen die Buchstaben a als Wort aufgeschriebenj
werden, d.h.
−1 −1 −1w(f) =a a a a a a a a a .2 5 4 3 1 21 5 3
Dieses Wort enth¨alt alle Informationen um die oben gestellten Fragen zu beantworten. Die
2Existenz von Fortsetzungen F: D → S steht im Zusammenhang mit der Kombinatorik
der Buchstaben von w(f). Spezielle Teilw¨orter kennzeichnen die Stellen, an denen f so
zerschnitten werden kann, dass eine Einbettungabgespalten wird. Diese speziellen Teilw¨orter
±1 ∓1heißen Paarungen und negative Gruppen. Eine Paarung ist ein Teilwort der Forma ...aj j
−1 −1und eine negative Gruppe ein Teilwort der Form a a . Das Beispiel enth¨alt eine Paarung
j i
und eine negative Gruppe:
−1 −1 −1w(f) =a a a a a a a a a .2 5 4 3 1 21 5 3
Die nachfolgende Abbildung zeigt, dass diese Teilw¨orter Einbettungen markieren, welche zu
eingebetteten Kreisscheiben fortgesetzt werden k¨onnen:Zusammenfassung iii
−1a3
−1a5
−1a a1 1
(a) Die durch eine Paarung gekennzeichnete (b) Die durch eine negative Gruppe
Einbettung. Die Kreissscheibe ist durch die gekennzeichnete Einbettung. Die Kreiss-
Schraffierung markiert. cheibe ist durch die Schraffierung markiert.
Bleibt nach dem Ku¨rzen aller Paarungen und negativen Gruppen ein positives Wort, d.h.
¨ein Wort mit positiven Buchstaben, u¨brig, dann hat das Wort eine Gruppierung. Das Ubrig-
bleiben eines positiven Wortes bedeutet, dass der verbleibende Teil von f ebenfalls eine Ein-
bettung ist und somit fortgesetzt werden kann. Nachdem alle Einbettungen fortgesetzt wur-
den werden die Kreisscheiben zu einer Fortsetzung von f zusammengeklebt.
DerAnsatzeinerImmersioneinWortzuzuordnenundeinFortsetzungsproblem anhanddieses
Wortes zu untersuchen l¨asst sich auf C. J. Titus [Tit60] zuru¨ckfu¨hren. Im Gegensatz zu un-
serem Ansatz nutzte er ausschliesslich die Selbstschnitte der Immersion um die sogenannte
Titus Schnittfolge zu definieren. Damit war er in der Lage die Frage nach der Existenz einer
1 2Fortsetzung zu einer gegebenen Immersionf: S →R zu beantworten, aber er konnte nicht
sagen, wieviele verschiedene Fortsetzungen es gibt.
Eine Antwort auf diese Frage im Falle immersierte Kreisscheiben in der Ebene gab Samuel
J. Blank in seiner Dissertation von 1967 [Bla67]. Er verbesserte Titus’ Ansatz dadurch, dass
1er die Strahlen cˆ erg¨anzte und deren Schnittpunkte mit f(S ) untersuchte. Er behauptetej
¨das die Anzahl der Gruppierungen von w(f) mit der Anzahl der verschiedenen Aquivalen-
zklassen von Fortsetzungen u¨bereinstimmt (vgl. Abbildung 1 fu¨r eine weitere Fortsetzung
des Beispiels.). Allerdings hat seine Dissertation einen unvollst¨andigen Charakter und blieb
unver¨offentlicht.
EswarValentinPo´enaru derdiefehlendenBeweiseerg¨anzteundBlanksIdeenver¨offentlichte
[Po´e69]. Die vorliegende Arbeitstellt neuekombinatorische Strukturenvor, diedasVerst¨and-
nis der Resultate wesentlich verbessern. Dies fu¨hrt zu einer Vereinfachung und verku¨rzt die
Beweise stark. `m 1 2Die Frage ob eine Immersion f: S → S eine Fortsetzung zu einer Immersionj=1
2F: M →S hat blieb aber weiterhin offen. M. L. Marx entwickelte notwendige Bedingungen`
1 1 2sowohl dafu¨r, dass eine Immersion f: S S → R mit zwei Randkomponenten auf den
1 2Kreisring fortgesetzt werden kann [Mar65], als auch dafu¨r, dass eine Immersion f: S →R
1aufeineFl¨acheM mitRand∂M =S undGeschlechtg ∈{0,1} [Mar68]fortgesetzt werdenM
kann.
2 1 2K. D. Bailey verbessertedieseResultateindemerFortsetzungenF: M →R vonf: S →Riv Zusammenfassung
−1a3
−1a5
a5
−1a1
(c) Die durch eine Paarung gekennzeichnete (d) Die durch eine negative Gruppe
Einbettung. Die Kreissscheibe ist durch die gekennzeichnete Einbettung. Die Kreiss-
Schraffierung markiert. cheibe ist durch die Schraffierung markiert.
−1 −1 −1Abbildung 1: Eine weiter Gruppierung von w(f) = a a a a a a a a a und die2 5 4 3 1 21 5 3
zugeh¨orige Fortsetzung.
untersuchte, beidenenM eine Fl¨ache mit beliebigem Geschlecht ist. Er zeigte, dass eine neue
Operation auf dem Wort w(f), die er Versammlung nannte, zu einer vollst¨andigen Charak-
1terisierung immersierter Fl¨achen M mit Rand∂M =S in der Ebene fu¨hrte [Bai75].
1986 kompletierten C. Curley und D. Wolitzer die Klassifikation durch das Erg¨anzen des`m 1verbleibenden Falles von Fortsetzungen auf Fl¨achen M mit Rand ∂M = S ([CW86]).j=1
Zu dieser Zeit war das Fortsetzungsproblem fu¨r immersierte Fl¨achen in der Ebenevollst¨andig
klassifiziert. AberdasKlassifikationsproblemfu¨rimmersierteFl¨acheninbeliebigengeschlossen
Fl¨achen blieb offen.
Das einzige Resultat zudieser Thematikkommt von George K. Francis, dereineKlassifika-
tion immersierter Kreisscheiben in der Sph¨are zeigt [Fra73]. Er ku¨ndigt auch eine Resultat`m 1 2fu¨r Immersionen f: S →S an, welches aber scheinbar nie erschien.j=1
Neben der Vereinfachung der bekannten Resultate komplettiert die vorliegende Arbeit die
Klassifikation in Dimension 2. Die Methoden von C. Curley und D. Wolitzer werden auf Im-`m 1 2mersionen f: S →S in die Sph¨are u¨bertragen. Dies fu¨hrt zu einer Klassifikation vonj=1
immersierten Fl¨achen in der Sph¨are. Abschliessend werden die Resultate auf Immersionen in
beliebige Ziel߬achen verallgemeinert.
AbgesehenvonderVervollst¨andigungderKlassifikationliefertenKarstenGrosse-Brauckmann,
Robert B. Kusner und John M. Sullivan eine neue Motivation sich mit diesem Fortset-
zungsproblem zu besch¨aftigen [GKS07]. Sie untersuchten spezielle Fl¨achen konstanter mit-
tlererKru¨mmung,sogenanntek-Unduloide,durchdieZuordnungeinersp¨arischenMetrik,d.h.
2einer Metrik lokal isometrisch zuS . Die Vervollst¨andigung einer solchen sph¨arischen Metrik
1 2ist eine stu¨ckweise Immersion f: S → S mit stu¨ckweise geod¨atischem Rand, d.h. einem
sph¨arischen Polygon. Somit fu¨hren Fortsetzungen von diesen stu¨ckweisen Immersionen zu
k-Unduloiden.
2Ist der Rand glatt, so ist die Anzahl der Urbilder einer Fortsetzung F: D → S durchZusammenfassung v
p p1 1
p p2 2
(a) Eine Fortsetzung eines (b) Eine Fortsetzung eines
sph¨arischen Polygons mit sph¨arischen Polygons mit
Winkeln kleiner als 2π in den Winkeln zwiscehn 2π und 4π in
Ecken. den Ecken.
Abbildung 2: Fortsetzungen mit unterschiedlichen Winkeln in den Ecken.
1 2die Randimmersion f: S →S bestimmt. Hat das sph¨arische Polygon nichtdifferenzierbare
Punkte, d.h. Ecken, so ist dies nicht mehr der Fall. Hier ist der Winkel in einer Ecke nur
noch modulo 2π definiert, wie in Abbildung 4 dargestellt. Somit hat ein spha¨risches Polygon
Verzweigungspunkte in den Ecken, d.h. eine Fortsetzung fu¨hrt zu einer ganzen Familie von
Fortsetzungen. Die Resultate der vorliegenden Arbeit sollten die Grundlage fu¨r eine Klassi-
1 2fizierung von stu¨ckweise Immersionenf:S →S mit Verzweigunspunkten bilden.
3Eine weitere Anwendung k¨onnte in der Klassifikation von immersierten 3-B¨allen inR liegen.
2 3In diesem Fall wird das Fortsetzungsproblem wie folgt definiert: Seif: S →R eine Immer-
3 3sion. Wann hat f eine Fortsetzung F: B →R auf den abgeschlossenen 3-Ball?
2 3RobertB.Kusnerschlugvor,eineHomotopieH: R ×[0,1]→R vonimmersiertenEbenen
zu untersuchen, so dass [
2 2 2H (R )∩f(S ) =f(S ).t
t∈[0,1]
2Dann besteht fu¨r jedes t ∈ [0,1] der Schnitt der immersierten Ebene mit f(S ) aus einer
(1) (k) 1 2Familie von Immersionen f ,...,f : S → R . Eine notwendige Bedingung dafu¨r, dasst t
2 3f: S →R auf einen immersierten 3-Ball fortgesetzt werden kann ist, dass fu¨r jeden Schnitt
2 2H (R )∩f(S ) die entsprechende Familie zu einer (m¨oglicherweise unzusammenh¨angenden)t
immersierten Fl¨ache in der Ebenefortgesetzt werdenkann. Um darauseine Fortsetzung fu¨rf
zu erhalten muss die Familie int differenzierbar sein. Probleme treten hierbei auf, wenn eine
(i)
Immersion f sich aufteilt oder mehrere Immersionen zusammenfallen. Fu¨r diese t ∈ [0,1]t
¨muss sichergestellt werden, dass der Ubergang ebenfalls differenzierbar ist.
Daru¨berhinausk¨onntedieszueinerKlassifikation immersierter3-Mannigfaltigkeiten inbe-
liebigen geschlossenen 3-Mannigfaltigkeiten und dadurch zu einer Klassifikation immersierter
n-Mannigfaltigkeiten in geschlossenen n-Mannigfaltigkeiten fu¨hren.
Ein weiteres Problem, vorgeschlagen von Robert B. Kusner, ist die Frage, ob die L¨ange des
Wortes w(f) einer Immersion eine Absch¨atzung der Anzahl verschiedener Fortsetzungen er-
laubt: WennndieL¨angedesWortesw(f)bezeichnetsostelltsichdieFrage, obeineFunktionvi Zusammenfassung
ξ(n) existiert, die eine obere Schranke fu¨r die Anzahl der Fortsetzungen ist.
Da die L¨ange des Wortes leicht erh¨oht werden kann ohne die Anzahl der Fortsetzungen zu
erh¨ohen sollte die Wachstumsrate mindestens exponentiell sein.
¨Wir beschliessen diese Einleitung mit einem Uberblick u¨ber diese Arbeit. In der ersten Sek-
tion wirddas Fortsetzungsproblem formuliert undeinige grundlegendentopologischen Fakten
hergeleitet.
Sektion 2 verallgemeinert Blanks Ansatz auf Immersionen in die Sph¨are. Paarungen und
negativeGruppenwerdeneingefu¨hrtundeineGruppierungwirddefiniert. Sektion3u¨bertr¨agt
1 2BlanksResultate aufImmersionenf:S →S . ImExistenzSatz3.1.5 undimEindeutigkeits-
satz 3.3.3 wird gezeigt, dass die Anzahl der Gruppierungen mit der Anzahl der verschiedenen
¨Aquivalenzklassen von Fortsetzungen auf die Kreisscheibe u¨bereinstimmt.
In Sektion 4 werden die Methoden von C. Curley und D. Wolitzer [CW86] benutzt um`m 1 2das Fortsetzungsproblem fu¨r Immersionen f: S → S auf den Fall von immersierten
j=1
KreisscheibeninderSph¨arezuru¨ckzufu¨hren. Zun¨achstwerdendieRandkompenentenzueiner
∗ 1 2gemeinsamen Randkomponente vereinigt, so dass f eine Immersion f : S → S induziert.
∗Eine neue Operation auf dem Wort w(f) wird eingefu¨hrt. Diese erlaubt es eine Fl¨ache M
∗ 1 ∗ ∗ ∗ 2mit Rand∂M =S zu konstruieren so dassf zu einer ImmersionF : M →S fortgesetzt
werden kann. Abschliessend wird diese Fortsetzung benutzt um eine Fl¨ache M mit Rand`m 1 2∂M = S zu konstruieren, so dassf zu einer ImmersionF: M →S fortgesetzt werdenj=1
kann.
In der abschliessenden Sektion werden die Resultate auf allgemeine geschlossene Ziel߬achen
N u¨bertragen. Chirugie Theorie wird benutzt um N in eine Sph¨are zu transformieren und
somit das Fortsetzungsproblem auf den Fall von Immersionen in der Sph¨are zu reduzieren.
1Seif: S →N eineImmersionaufeinegeschlosseneFl¨acheN mitpositivem Geschlecht. Eine
Folge ν von Chirugien transformieren N in eine Sph¨are. Da diese Chirugien im allgemeinen`m 1 ν ν 1 2f( S ) zerschneiden fu¨hrt dies zu einer Familie f ,...,f : S → S von Immersionen.j=1 1 n
ν ν 2WennalldieseImmersioneneineFortsetzungzuImmersionenF : M →S haben,sowerdenj j
diese Fortsetzungen benutzt um eine Fortsetzung von f zu erhalten.