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Design and analysis in shape optimization of shells [Elektronische Ressource] / Natalia Camprubí Estebo

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Lehrstuhl fur StatikFakult at fur Bauingenieur- und VermessungswesenTechnische Universit at Munc henDesign and Analysis in Shape Optimization of ShellsNatalia Camprub EsteboVollst andiger Abdruck der von der Fakult at fur Bauingenieur- undVermessungswesen der Technischen Universit at Munc hen zur Erlangung desakademischen Grades einesDoktor-Ingenieursgenehmigten Dissertation.Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.rer.nat. E. RankPrufer der Dissertation:1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. K.-U. Bletzinger2. Dr.-Ing. W. A. WallDie Dissertation wurde am 04.05.2004 bei der Technischen Universit at Munc heneingereicht und durch die Fakult at fur Bauingenieur- und Vermessungswesen am05.07.2004 angenommen.AbstractOptimization has become nowadays an important discipline in the global designprocess of structures because it represents a systematic method to improvedesigns with respect to certain criteria. In design of shell structures, shapeoptimization is especially important because of the close and sensitive relationbetween shape and structural behaviour. However, this is a complex task due tothe di culties inherent to structural analysis of shells and geometrical de nitionof arbitrary surfaces.In the present work, decisive aspects of design and analysis of shells in shapeoptimization are studied.

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Published 01 January 2004
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Language English
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Exrait

Lehrstuhl fur Statik
Fakult at fur Bauingenieur- und Vermessungswesen
Technische Universit at Munc hen
Design and Analysis in Shape Optimization of Shells
Natalia Camprub Estebo
Vollst andiger Abdruck der von der Fakult at fur Bauingenieur- und
Vermessungswesen der Technischen Universit at Munc hen zur Erlangung des
akademischen Grades eines
Doktor-Ingenieurs
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.rer.nat. E. Rank
Prufer der Dissertation:
1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. K.-U. Bletzinger
2. Dr.-Ing. W. A. Wall
Die Dissertation wurde am 04.05.2004 bei der Technischen Universit at Munc hen
eingereicht und durch die Fakult at fur Bauingenieur- und Vermessungswesen am
05.07.2004 angenommen.Abstract
Optimization has become nowadays an important discipline in the global design
process of structures because it represents a systematic method to improve
designs with respect to certain criteria. In design of shell structures, shape
optimization is especially important because of the close and sensitive relation
between shape and structural behaviour. However, this is a complex task due to
the di culties inherent to structural analysis of shells and geometrical de nition
of arbitrary surfaces.
In the present work, decisive aspects of design and analysis of shells in shape
optimization are studied.
In the optimization loop, the optimization algorithm takes decisions about im-
proving the actual design based on information provided by structural and sen-
sitivity analysis. Therefore, the reliability of these analysis is crucial for the
optimization result. In the structural analysis of thin structures, standard dis-
placement elements su er from locking phenomena, which yield inaccurate re-
sults. In an optimization process, these e ects spread from structural analysis to
sensitivity analysis and, as a consequence, to the optimization loop. Numerical
experiments performed with standard displacement elements and with elements
based on the DSG concept, avoiding locking, show the e ects of locking in the
optimization result both qualitatively and quantitatively. Final results obtained
with standard displacement elements may have a wrong principal type of design
or even may be unfeasible. The reliability of the sensitivity coe cien ts depends
also strongly on the applied technique of sensitivity analysis. The need of more
accurate results legitimates the use of analytical approaches, which require a
higher mathematical e ort but yield more accurate sensitivity coe cien ts than
those computed with other approaches.
The importance of the design module in the optimization process lies in the
fact, that it determines to a large extent the result, insofar as it
determines the set of admissible designs. A comparison between CAD- and
FE-based parametrizations is done, with emphasis on the exibilit y regarding
shape description. The FE-based design parametrization allows more freedom
in the design than the CAD-based parametrization, which makes it suitable for
free formed shells or for a predesign phase. However, designs obtained with this
parametrization may be wiggly shapes, which may a ect the nite element for-
mulation due to the high mesh distortion. A shape control technique aimed to
achieve shape regularization using intrinsic surface curvature measures is pro-
iposed. This approach facilitates obtaining smooth designs and avoiding wiggly
shapes in optimization results obtained when using FE-based parametrization.
A method to compute intrinsic curvature measures of a surface approximated
by a polygonal mesh is shown. The method shows good performance, while
sensitivities of these curvatures can be computed analytically. Moreover, it is
applicable not only for smooth control of shells, but also for membranes or
surface boundaries of 3D bodies.
iiZusammenfassung
Optimierungsmethoden geh oren heute zu den entscheidenden Disziplinen beim
Entwurf technischer Strukturen, weil man mit ihnen Designs systematisch und
gezielt bezuglic h bestimmter Kriterien verbessern kann. Aufgrund der aus-
gepr agten und emp ndlic hen Wechselwirkungen von Form und Strukturver-
halten spielen Formoptimierungsmethoden beim Entwurf von Schalentragw-
erken eine besonders wichtige Rolle. Allerdings ist diese Aufgabe auch beson-
ders anspruchsvoll, wobei die Strukturanalyse und die geometrische De nition
von beliebigen Fl achen aufgrund ihrer Komplexit at die gr o ten Schwierigkeiten
bereiten.
In der vorliegenden Arbeit werden relevante Aspekte des Entwurfs und der
Analyse im Rahmen der Formoptimierung von Schalentragwerken untersucht.
Innerhalb des Optimierungsalgorithmus werden Entscheidungen zur Verbes-
serung des Entwurfs auf der Basis von Informationen aus der Struktur- und
Sensitivit atsanalyse getro en. Deshalb ist die Zuverl assigkeit dieser Analysen
entscheidend fur das Optimierungsergebnis. Bei der Berechnung von dunn-
wandigen Strukturen mit verschiebungsbasierten niten Elementen k onnen Lock-
ing-Ph anomene auftreten, die zu ungenauen Ergebnissen fuhren. In einem Op-
timierungsprozess ub ertr agt sich diese Wirkung von der Strukturanalyse auf
die Sensitivit atsanalyse, mithin auf die gesamte Optimierungsschleife und de-
shalb schlie lic h auf das Optimierungsergebnis. Numerische Experimente mit
Standard-Verschiebungselementen und mit Elementen, die auf der Basis des
DSG-Konzepts formuliert sind und Locking vermeiden, zeigen sowohl die qual-
itativen als auch die quantitativen Auswirkungen von Locking auf das Opti-
mierungsergebnis. Die Entwurfe, die mit verschiebungsbasierten niten El-
ementen erhalten werden, k onnen eine prinzipiell falsche Form haben oder
sogar au erhalb des zul assigen Bereiches liegen. Die Zuverl assigkeit der Sensi-
tivit atskoe zien ten h angt auch von der Art der Sensitivit atsanalyse ab. Das
Bedurfnis nach pr aziseren Ergebnissen berechtigt die Anwendung von analytis-
chen Verfahren, die zwar mathematisch aufwendiger sind, dafur aber genauere
Sensitivit atskoe zien ten als anderen Methoden liefern.
Die Bedeutung des Entwurfsmoduls im Optimierungsablauf ist darin begrundet,
dass es durch die Ermittlung des Bereichs der zul assigen Entwurfe einen wesent-
lichen Ein uss auf das Optimierungsergebnis hat. In Bezug auf das Entwurf-
swerkzeug wird ein Vergleich zwischen CAD- und FE-basiertem Design, mit
speziellem Augenmerk auf der Flexibilit at bei der Formbeschreibung, angestellt.
iiiDie FE-basierte Parametrisierung erlaubt mehr Freiheit als die CAD-basierte,
was sie insbesondere fur den Entwurf von Freiformschalen und fur die Voren-
twurfsphase eignet. Allerdings k onnen bei der Anwendung der FE-basierten
Parametrisierung unerwunsc hte wellige Formen auftreten, die aufgrund der Net-
zverzerrung auch die Finite-Elemente-Approximation beeintr achtigen k onnen.
Es wird eine Formregelungsmethode vorgeschlagen, die die Fl ache durch vorge-
gebene Krumm ungsma e regularisiert. Das Verfahren erm oglicht den Entwurf
glatter Fl achen und vermeidet wellige Ergebnisse bei der Verwendung einer
FE-basierten Parametrisierung. In diesem Zusammenhang wird ein Verfahren
zur Berechnung intrinsischer Krumm ungsma e einer mit niten Elementen dis-
kretisierten Fl ache entwickelt. Die Methode liefert gute Ergebnisse und die
Sensitivit aten dieser Krumm ungen k onnen analytisch berechnet werden. Die
vorgeschlagenen Methoden sind nicht nur fur die Kontrolle der Glattheit von
Schalen, sondern auch bei Membranen oder Ober achen von dreidimensionalen
K orpern anwendbar.
ivAcknowledgments
This Thesis is the result of my work at the Department of Structural Anal-
ysis (Lehrstuhl fur Statik) of the Technische Universit at Munc hen (Munich,
Germany) between 2002 and 2004.
I would like to thank sincerely Prof. Dr.-Ing. K.-U. Bletzinger for giving me the
opportunity of working in such an interesting eld at the Department and for his
engagement for providing good research conditions and facilities. I would also
like to thank Prof. Dr.-Ing. W. Wall for his helpful comments and suggestions.
I would like to express my appreciation to my colleagues at the Department
of Structural Analysis (Lehrstuhl fur Statik) of the Technische Universit at
Munc hen. They received me with open arms and created a very nice and en-
riching atmosphere at the Department. I wish to thank specially Dr. Manfred
Bischo for his patience, engagement and constructive discussions, which were
always a source of motivation for continuing the research.
I am most indebted with Dr. Ignasi Colominas, Prof. Ferm n Navarrina and
Prof. Manuel Casteleiro from the School of Civil Engineering of the University
of A Coruna~ (Spain) for their supporting guidance. They introduced me in the
eld of Computational Mechanics and encouraged me to pursue the doctoral
studies, giving me always very good advice. I am deeply grateful to them.
I would like to express my gratitude to the Fundaci on Pedro Barrie de la Maza
(A Coruna,~ Spain) for the scholarship which brought me to Munich in 2000 to
pursue a Master course in Computational Mechanics.
I would like to thank all those friends who have accompanied me during the
completion of this work and gave me their support and love. I will always keep
in my heart the moments we have shared.
Finally, I would like to thank my family, and specially my parents, for all
the love, support and devotion they always show. In the last years, despite
the distance, they were always there, sharing the small things, acting as link
with my homeland, and letting me feel loved. Their love has always been an
invaluable support. This thesis is dedicated to them.
The present work has been supported by the German Federal Ministry of
Education and Research (Bundesministerium fur Bildung und Forschung). This
support is gratefully acknowledged.
vviContents
1 Motivation and Objectives 1
1.1 Motivation and state of the art . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objectives of the present work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Fundamentals 11
2.1 Structural optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 A Shell Element with Reissner-Mindlin Kinematics 19
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Derivation of a shell element from the degeneration concept . . . 23
3.3 Geometric de nition of an element . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Calculation of the director coordinate systems . . . . . . . . . . 27
3.5 Displacement eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Relation between the di eren t coordinate systems . . . . . . . . 32
3.7 De nition of strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.1 Strains in local Cartesian system . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.2 in curvilinear coordinate system . . . . . . . . . . 40
3.8 Calculation of stresses and stress resultants . . . . . . . . . . . . 42
3.9 Element sti ness matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.10 External loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.11 Locking phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12 A DSG shell element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Sensitivity Analysis 53
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Discrete sensitivity analysis by global nite di erences . . . . . 56
4.3y of state variable constraints . . . . . 58
4.3.1 Discrete direct sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2 adjointy . . . . . . . . . . . . 60
vii4.3.3 Semi-analytical design sensitivities . . . . . . . . . . . . 62
4.3.4 Analytical design sensitivities . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Variational sensitivity approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 Variational sensitivity analysis for sizing . . . . . . . . . 67
4.4.2 V shape sensitivity . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.3 Comparison between discrete and variational sensitivity
analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Analytical Sensitivity of a Shell Finite Element 75
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Analytical sensitivity analysis for a shell displacement element . 77
5.2.1 Di eren tiation of the strain-displacement matrix . . . . . 78
5.2.2 of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
15.2.3 Di eren tiation of J and J . . . . . . . . . . . . . . . . 81
15.2.4 Derivative of G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.5 Derivative of the determinant of the Jacobian matrix . . 83
5.2.6 Derivative of director coordinate systems . . . . . . . . . 83
5.3 Analytical sensitivity analysis for the DSG shell element . . . . 85
5.4 di eren tiation of elemental load vector . . . . . . . . 88
5.5 Some remarks about sizing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 A particular case of adjoint sensitivity analysis . . . . . . . . . . 90
6 In uence of Locking in Structural Optimization. 93
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Shell of revolution with parabolic generatrix . . . . . . . . . . . 94
6.3 Roof shell with two parabolic generatrices . . . . . . . . . . . . 96
6.3.1 Minimization of strain energy . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.2 of weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 Shape Description and Control 107
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Parametrization of design surfaces for shape optimization . . . . 109
7.2.1 CAD based design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.2 FE-based design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2.3 Comparison between CAD- and FE-based design parametriza-
tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2.4 Other parametrization techniques . . . . . . . . . . . . . 117
7.3 Shape control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3.1 Variable linking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3.2 Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
viii