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Étude asymptotique de certains systèmes désordonnés, Asymptotic Study of Some Disorder Systems

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Description

Sous la direction de Samy Tindel
Thèse soutenue le 25 septembre 2007: Nancy 1
Cette thèse porte principalement sur deux types de systèmes désordonnés, à savoir les verres de spins et les polymères dirigés en environnement aléatoire. Ces deux thèmes de recherche peuvent s'aborder à l'aide de certains outils communs, même s'ils se distinguent fortement par la nature des interactions envisagées, et des structures géométriques qu'ils engendrent.Voici un résumé succint des résultats obtenus : Pour le modèle de Sherrington-Kirkpatrick de verres de spins, une étude asymptotique des recouvrements multiples, qui généralisent de manière naturelle les recouvrements de deux configurations, couramment étudiés dans ce contexte. Un théorème central de la limite pour la fonction de partition d'un modèle de Sherrington-Kirkpatrick localisé en espace. Une étude fine de la fonction de partition ainsi qu'un résultat de surdiffusivité pour un modèle de polymère dirigé brownien en environnement aléatoire gaussien.
-Systèmes désordonnés
This thesis basically study two kinds of disorder systems. The first one the spin glasses and second one the directed polymers into a random environment. These two research themes can be solved by the utilization of the same tools. Although they are strongly different by the nature of the interactions and the geometry structure that they create. In few words, we give a summary: For the Sherrington-Kirkpatrick Spin Glasses model, we make an asymptotic study of the multiple overlap function which generalizes the typical two configuration overlap function. Afterward, we develop a central limit theorem for the partition function of a localized Sherrigton-Kirkpatrick model. At the end, we obtain a study of the partition function and a result of super-diffusivity for a brownien directed polymer model into an random gaussian environment.
Source: http://www.theses.fr/2007NAN10053/document

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http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm ´D´epartement de formation doctorale en math´ematique Ecole doctorale IAEM Lorraine
UFR STMIA
´Etude asymptotique de certains
syst`emes d´esordonn´es
`THESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le xx Septembre 2007
pour l’obtention du
Doctorat de l’universit´e Henri Poincar´e – Nancy 1
(sp´ecialit´e math´ematique appliqu´ee)
par
S´ergio de Carvalho Bezerra
Composition du jury
Rapporteurs : Philippe Carmona
Carles Rovira
Examinateurs : Philippe Chassaing
Francis Comets (President)
Ren´e Schott
Samy Tindel
´Institut de Math´ematiques Elie Cartan — UMR 7502Mis en page avec la classe thloria.i
Remerciements
Àmonavis,j’arriveaumomentleplusdificiledelathèse:ilfautfairelesremerciements
et je ne peux oublier aucune des personnes qui ont contribué à la realisation de ce rêve.
Donc, je commence par tous ceux qui m’ont aidé d’une façon ou d’une autre à arriver au
moment d’écrire ces mots. Ma mère, Vera Lúcia Soares de Carvalho, m’a démontré avec
sa vie que la vie est belle. Mon frère, Diogo de Carvalho Bezerra, me montre toujours une
incroyable capacité de vouloir apprendre sur la vie. Mon père Expedito Bezerra da Costa,
m’a laissé son ADN. Dans ma tête, j’ai toujours les exemples de force des femmes de ma
famille. Elles m’ont montré que nous pouvons être heureux en passant par beaucoup de
difficultés : mes tantes Patricia Carvalho Bezerra Silva, Ana Paula de Carvalho, Quitéria
Soares, Josefa de Carvalho, Edna de Carvalho, Maria Soares. Tous leurs conjoints et leurs
fils et filles, je les remercie aussi.
J’essaye de travailler dans le domaine des probabilités. C’est pour moi très simple
mais en même temps très difficile. Celle qui m’a fait tomber amoureux des probabilités
a été Madame Marcilia Andrade Campos. Celui qui m’appris à compter a été Monsieur
Vladimir Belitsky. Ceux qui ont fait des lettres pour mon doctorat en France ont été
Hildeberto Cabral, Paulo César Pinto Carvalho et Carlos Isnard. Celui qui m’a accepté
pour être étudiant de doctorat a été Samy Tindel. Il est toujours pour moi un exemple
de simplicité et d’une personne qui travaille. Je ne peux pas oublier de remercier tous
les membres du jury pour avoir accepté cette tâche : Philippe Carmona, Carles Rovira,
Philippe Chassaing, Francis Comets et René Schott. Hildeberto Cabral m’a fait connaître
Alain Albouy. Monsieur Alain Albouy est la personne responsable de mon arrivée en
France et Monsieur Francis Comets m’a recommendé à Samy Tindel. je remercie aussi à
Frederi Viens pour le travaille ensemble. La France, les français, la langue française, la
culture française, je veux les remercier aussi. Ils m’ont fait decouvrir une nouvelle vie.
Il y a plusieurs amis qui m’ont fait penser à ce rêve. Je veux remarquer Pablo Mas-
carenhas de Araújo, Ana Carolina Tavares, Augusto César Nazaré, Leonardo Batista de
Queirós, Leonardo Santos Albuquerque, Maricleiton Vieira, Júlio Alexandrino de Oliveira
Filho, les fréres Ana Maria Luz et José Luis Sombra Luz, Lorena Rocha, Fátima Russo,
Marcos Bezerra, Marcos Petrúcio, Adelailson Peixoto, Maya Boudiffa, Elahé Zooharian,
Pierre Etoré, Pierre Le Gall, Sylvain Col, Marie Amélie, Rodrigo Toledo, Rodrigo Perito,
Ligia Cardoso , Daniela Toledo, Tatiana Vaz Gomes, Júlio Vaz Gomes, Marcia Cristina et
Fernanda. Le couple Iddo Ben Ari et Naomi. Les fonctionnaires de l’Institut Elie Cartan
et de l’Université Henri Poincaré, Madame Monique et Madame Meyer-Bisch.
Pendant la période de cette thèse j’ai vécu les moments les plus difficiles de ma vie
et Madame Kassiana Mesquita da Costa Bezerra a été et est toujours à mon côté. Je ne
peux pas calculer la valeur de cette présence.iiiii
je dédie à ma famille.ivv
Résumé
La thèse consiste de trois problèmes. Deux liés à l’étude du verre de spins et un au
polymère dans un environement aleatoire. Nous avons étudié la fonction de recouvrement
multiple du modéle de Sherrigton-KirkPatrick et nous avons établit un Theorème Central
limite pour lénergie libre du modèle de Sherrigton-kirkPatrick localisé. Nous avons aussi
trouvé une borne inférieur pour l’exposant de wandering pour un modéle de polymère
avec temps et space continus.
Mots-clés : Modèle SK, Fonction de Recouvrement, Modéle dilué, Polymère.viTable des matières
1 Introduction 1
1.1 Verres de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Recouvrement Multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Modèle Localisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Polymère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Le modèle du polymère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Quelques résultats importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Nos contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Résumé succinct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Fonction de recouvrement multiple 17
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Chemin intelligent (Smart path) et produit de fonctions de recou-
vrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Des ensembles et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Stratégie de la preuve du théorème 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Quelques développements de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Le terme général et le terme d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Termes négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Un terme général plus explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4 Le produit de fonctions de recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 R-Systèmes et Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1 L’outil de graphes : la démonstration de la proposition 2.4.1 point ii) 33
2.4.2 R-Système : preuve de la proposition 2.4.1 point i) . . . . . . . . . 36
2.5 Un développement pour le deuxième moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Un TCL généralisé pour la fonction de recouvrement multiple . . . . . . . 44
vii