148 Pages
English
Gain access to the library to view online
Learn more

FEM-BEM procedures for elastoplastic thermo-viscoplastic contact problems [Elektronische Ressource] / von Sergey Geyn

-

Gain access to the library to view online
Learn more
148 Pages
English

Description

FEM-BEM procedures for elastoplasticthermo-viscoplastic contact problemsVon der Fakultat fur Mathematik und Physik¨ ¨der Gottfried Wilhelm Leibniz Universita¨t Hannoverzur Erlangung des GradesDoktor der NaturwissenschaftenDr. rer. nat.genehmigte DissertationvonDipl.-Math. Sergey Geyngeboren am 08.05.1981 in Tula2007Referent: Prof. Dr. E. P. Stephan, Gottfried Wilhelm Leibniz Universit¨at HannoverKorreferent: Prof. Dr. G. Starke, Gottfried Wilhelm Leibniz Universitat Hannover¨Tag der Promotion: 01.02.2007AbstractThe main goal of this thesis is the extension and improvement of existing methodsfor describing and solving thermo-mechanical problems involving the contact of bodies,plastic behavior as well as hypoelasto-viscoplasticity, which have an application in ma-chining and metal forming processes. Besides the finite element method (FEM) alsothe boundary element method (BEM) and the FEM/BEM coupling are investigated asdiscretization procedures.In Chapter 1 the quasistatic two-body elastoplastic contact problem with Coulomb fric-tion is discretized using the FE/FE, BE/BE, and FE/BE coupling methods. The incre-mental loading procedure with Newton iterations on each time step is analyzed. Lin-earizations of the frictional contact and the plasticity terms as well as a description ofthe solution algorithms are given.

Subjects

Informations

Published by
Published 01 January 2007
Reads 14
Language English
Document size 2 MB

Exrait

FEM-BEM procedures for elastoplastic
thermo-viscoplastic contact problems
Von der Fakultat fur Mathematik und Physik¨ ¨
der Gottfried Wilhelm Leibniz Universita¨t Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Math. Sergey Geyn
geboren am 08.05.1981 in Tula
2007Referent: Prof. Dr. E. P. Stephan, Gottfried Wilhelm Leibniz Universit¨at Hannover
Korreferent: Prof. Dr. G. Starke, Gottfried Wilhelm Leibniz Universitat Hannover¨
Tag der Promotion: 01.02.2007Abstract
The main goal of this thesis is the extension and improvement of existing methods
for describing and solving thermo-mechanical problems involving the contact of bodies,
plastic behavior as well as hypoelasto-viscoplasticity, which have an application in ma-
chining and metal forming processes. Besides the finite element method (FEM) also
the boundary element method (BEM) and the FEM/BEM coupling are investigated as
discretization procedures.
In Chapter 1 the quasistatic two-body elastoplastic contact problem with Coulomb fric-
tion is discretized using the FE/FE, BE/BE, and FE/BE coupling methods. The incre-
mental loading procedure with Newton iterations on each time step is analyzed. Lin-
earizations of the frictional contact and the plasticity terms as well as a description of
the solution algorithms are given. As a further approach we also investigate a domain
decomposition method, whereas the transmission conditions between elastic and plastic
part in the work piece are incorporated via Lagrange multipliers. Furthermore addi-
tionally the distribution of temperature is modelled by a two-field approach. The above
procedures are used to simulate benchmark problems in metal forming.
In Chapter 2 the quasistatic one-body hypoelasto-viscoplasticity problem subjected to
the Hart’s model, describing large viscoplastic and small elastic deformations, is dis-
cretized with FE and BE methods in space, using an updated Lagrange approach for
the discretization in time. Here a fix point procedure on each time step is used. An ex-
plicitintegrationprocedureoftheconstitutivematerialequationsaswellasadescription
of the solution procedure are given.
Furthermore, the thermo-mechanical two-body hypoelasto-viscoplasticity contact prob-
lem with Coulomb friction is discretized with FE/BEin space and with finite differences
in time employing the updated Lagrange approach. This approach can be applied to
simulate metal chipping.
Our numerical algorithms are implemented as a library within the scientific package
maiprogs and are written in Fortran 95.
The numerical computations are realized using different discretization procedures for
benchmark problems providing comparable results for FE, BE and FE/BE coupling
methods.
Key words. FE/BE coupling, finite elements, boundary elements, frictional contact,
penalty, Hart’s model, updated Lagrange, large deformations
3Zusammenfassung
Das Hauptziel dieser Dissertation ist die Erweiterung und Verbesserung der vorhan-
denen Methoden fur die Beschreibung und das Losen thermomechanischer Probleme,¨ ¨
welche den Kontakt der Korper, das Plastizitatsverhalten sowie das hyperelastischvisko-¨ ¨
plastische Verhalten einschließen. Anwendungsgebiete dieser Probleme findet man bei
der Metallbearbeitung, zum Beispiel bei der Umformung und bei Zerspanprozessen. Die
unterschiedlichen Diskretisierungsverfahren, d.h. Finite-Elemente-Methode (FEM) und
Rand-Elemente-Methode (BEM) bzw. deren Kopplung, angewendet auf die oben ge-
nannten Modellprobleme, werden untersucht.
ImKapitel1wirddasquasistatischeKontaktproblemvonzweielastoplastischenKorpern¨
mit Coulombscher Reibung mit FE/FE-, BE/BE- und FE/BE- Kopplungs-Methoden
diskretisiert. Es wird das inkrementelle Lastverfahren mit Newtonschen Iterationen in
jedem Zeitschritt verwendet. Zudem wird die Linearisierung des Kontakt- und Plasti-
zit¨atsanteils angegeben und das Lo¨sungsverfahren beschrieben. Eine Gebietszerlegungs-
methodewirduntersucht,wobeidieTransmissionsbedingungenzwischendemelastischen
und dem plastischen Gebiet des Werkzeuges u¨ber Lagrange-Multiplikatoren eingearbei-
tet sind. Zudem ist die Verteilung der Temperatur mit dem two-field Verfahren model-
liert.DieobengenanntenVerfahrenwerden verwendet, umdieBenchmark-Probleme bei
Zerspanprozessen zu simulieren.
ImKapitel2wirddasquasistatischeEinkorper-Problemmitdemhyperelastischviskopla-¨
stischen Stoffgesetz, welches mit dem Hartschen Modell beschrieben ist, mit FE- sowie
mit BE- Methoden im Raum diskretisiert. In der Zeit wird die auf dem aktualisierten
Lagrange-Verfahren basierende explizite finite Differenzen Methode angewendet. In je-
dem Zeitschritt wird eine Fixpunktiteration durchgefu¨hrt. Ein Verfahren zur expliziten
Integration der konstitutiven Materialgleichungen sowie die Beschreibung der Lo¨sungs-
verfahren werden gegeben.
Das thermomechanische hyperelastischviskoplastische Zweikorper Kontaktproblem mit¨
Coulombscher Reibung wird mitFE/BE im Raumund mit finiten Differenzen bezuglich¨
der Zeit diskretisiert. Die Referenzkonfiguration wird nach jedem Zeitschritt gemaß des¨
aktualisierten Lagrange’sche Verfahrens erneuert.
Dienumerischen AlgorithmensindalsinterneBibliothek innerhalbdesSoftwarepacketes
maiprogs in Fortran 95 realisiert.
Die numerischen Berechnungen fu¨r die verschiedenen Diskretisierungsverfahren liefern
vergleichbare Ergebnisse.
Schlagworte: FE/BE-Kopplung, Finite Elemente, Randelemente, Reibungskontakt,
Penalty, Hartmodell, updated Lagrange, große Verformungen
4Acknowledgments
It is a great pleasure for me to thank my advisor, Prof. Dr. Ernst P. Stephan, for
inspiring me to work in this area. I am very grateful to him for his intensive guidance
during my work, for helpful discussions and important remarks. Also I would like to
thank PD Dr. Matthias Maischak for his support and help in the programming. His
software package maiprogs became a basis for the implementation of the numerical
experiments, presented in the thesis.
Furthermore, Iwould like togive my thanks tothe members ofourworking groupin the
Institute of Applied Mathematics, Gottfried Wilhelm Leibniz University of Hanover, for
the friendly and stimulating atmosphere.
This thesis was supported by the DFG grant no. STE 573/5-1 and DFG grant no. STE
573/7-1.
Hanover, December 2006 Sergey Geyn
56Contents
Introduction 13
1 Elastoplastic contact problems. Small deformations 17
1.1 Weak and penalty formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Discretization and solution procedure (incremental loading) . . . . . . . . 30
1.2.1 FEM/FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 BEM/BEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.3 FEM/BEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3 Linearizations of contact and elastoplasticity . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Contact functional investigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5 A Newton-type method for two-body elastoplastic contact with friction . 57
1.6 Newton-like iterations for two-body elastoplastic contact with friction . . 65
1.7 Numerical simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.8 FEM/BEM domain decomposition for frictional contact . . . . . . . . . . 82
1.8.1 Weak formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.8.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.8.3 Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8.4 Numerical simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.9 FE/BE coupling for thermoelastic contact problems . . . . . . . . . . . . 92
1.9.1 Weak formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.9.2 Operator splitting, discretization and solution procedure . . . . . 98
1.9.3 Numerical simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 Hypoelasto-viscoplasticity. Large deformations 103
2.1 The equilibrium equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.2 Hart’s constitutive equations for hypoelasto-viscoplasticity . . . . . . . . 106
2.3 Time integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.4 Updated Lagrange approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.5 A boundary element method for hypoelasto-viscoplasticity . . . . . . . . 111
2.5.1 Integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.5.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.5.3 Benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.5.4 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.5.5 Discretization with finite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
72.6 Boundary element and finite element procedures for metal chipping . . . 125
2.6.1 Viscoplastic thermomechanical coupling . . . . . . . . . . . . . . 125
2.6.2 Benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3 Appendix 133
3.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.1 Boundary operators and volume potentials . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.2 Hypoelasto-viscoplasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bibliography 143
8List of Figures
1.1 Admissible region of traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2 Elastic and plastic regions of penetration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3 FE/FE: deformed mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
p1.4 FE/FE:kεk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5 FE/BE: deformed mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
p1.6 FE/BE:kεk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
p1.7 FE/FE, FE/BE:kεk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.8 Characteristic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.9 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.10 incremental loading of u at segment (−2,−3),(2,−3) . . . . . . . . . . . 75y
1.11 FE/FE: deformed mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
p1.12 FE/FE:kεk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.13 FE/BE: deformed mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
p1.14 FE/BE:kεk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.15 BE/BE: deformed mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
p1.16 BE/BE:kεk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.17 FE/FE, FE/BE, BE/BE:kdevσk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.18 FE/BE:kdevσk for different mesh sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.19 Error ofkdevσk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.20 kdev[σ]k at X = (−1,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
1.21 kdev[σ]k at X = (−1,−1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
1.22 kdev[σ]k at X = (1,−1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
1.23 kdev[σ]k at X = (1,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784
1.24 kdev[σ]k at X = (0,−1.75) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785
1.25 kdev[σ]k at X = (−1,−1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786
1.26 kdev[σ]k at X = (−1,−2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
1.27 kdev[σ]k at X = (1,−1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798
1.28 kdev[σ]k at X = (1,−2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
1.29 kdev[σ]k at X = (0,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910
1.30 kdev[σ]k at X = (0,−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911
1.31 kdev[σ]k at X = (0,−3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7912
1.32 u at X =(−1,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80x 1
1.33 u at X =(−1,−1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80x 2
91.34 u at X = (1,−1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80x 3
1.35 u at X = (1,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80x 4
1.36 u at X = (0,−1.75) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80x 5
1.37 u at X = (−1,−1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80x 6
1.38 u at X = (−1,−2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81x 7
1.39 u at X = (1,−1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81x 8
1.40 u at X = (1,−2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81x 9
1.41 u at X = (0,−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81x 10
1.42 u at X = (0,−2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81x 11
1.43 u at X = (0,−3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81x 12
1.44 The model geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.45 deformed mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
p1.46 kεk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.47 x-component of the displacement: u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93x
1.48 y-component of the displacement: u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93y
1.49 kdevσk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.50 σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93xx
1.51 σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93xy
1.52 σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93yy
1.53 16 increments of 2nd tangent cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.54 End of simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.1 Flow chart. Hart’s model regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2 FEM-BEM comparison (σ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119xx
2.3 FEM-BEM comparison (σ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119yy
2.4 Convergence of BEM approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.5 Convergence of FEM approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.6 FEM (after 50 second simulation ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.7 BEM (after 30 second simulation ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.8 Flow chart. BEM discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.9 Flow chart. FEM discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.10 Model problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.11 Metal chipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10