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ersit?AlgebraiceapproacWh?tomo-dalaculextensionsSciences,ofLi?ge,?ukasiewiczersitairelogicsallonieDoEuropctorFaltdissertationdesBrunoUnivTeheuxdeA2008cad?mie2009UniviiRésuméNous consacrons cette dissertation à une étude algébrique de certaines généralisationsmultivaluées des logiques modales. Notre point de départ est la définition des modèle deKripke [0;1]-valués et Ł -valués, où [0;1] désigne la MV-algèbre bien connue et Ł sa sous-n n1 n 1algèbre f0; ;:::; ;1g pour tout naturel non nul n.n nNous utilisons deux types de structures pour définir une relation de validité : la classe desL-structures et celles des L-structures Ł -valuées. Ces dernières sont des L-structures dansnlesquelles nous précisons pour chaque monde u l’ensemble Ł (où m est un diviseur de n) desmvaleurs de vérité que les formules sont autorisées à prendre en u.Ces deux classes de structures définissent deux notions distinctes de validité. Nous lesutilisons pour étudier le problème de la définissabilité des classes de structures à l’aide dulangage modal. Nous obtenons dans les deux cas l’équivalent du théorème de Goldblatt -Thomason.Nous considérons aussi les problèmes de complétude vis à vis de ces sémantiques relation-nelles à l’aide des liens qui les lient à la sémantique algébrique. Les résultats les plus fortsque nous obtenons concernent les logiques modales Ł -valuées. En effet, dans ce cas, nousnpouvons appliquer et développer des outils ...

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Teheux
de
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2008
cad?mie
2009
UniviiRésumé
Nous consacrons cette dissertation à une étude algébrique de certaines généralisations
multivaluées des logiques modales. Notre point de départ est la définition des modèle de
Kripke [0;1]-valués et Ł -valués, où [0;1] désigne la MV-algèbre bien connue et Ł sa sous-n n
1 n 1algèbre f0; ;:::; ;1g pour tout naturel non nul n.
n n
Nous utilisons deux types de structures pour définir une relation de validité : la classe des
L-structures et celles des L-structures Ł -valuées. Ces dernières sont des L-structures dansn
lesquelles nous précisons pour chaque monde u l’ensemble Ł (où m est un diviseur de n) desm
valeurs de vérité que les formules sont autorisées à prendre en u.
Ces deux classes de structures définissent deux notions distinctes de validité. Nous les
utilisons pour étudier le problème de la définissabilité des classes de structures à l’aide du
langage modal. Nous obtenons dans les deux cas l’équivalent du théorème de Goldblatt -
Thomason.
Nous considérons aussi les problèmes de complétude vis à vis de ces sémantiques relation-
nelles à l’aide des liens qui les lient à la sémantique algébrique. Les résultats les plus forts
que nous obtenons concernent les logiques modales Ł -valuées. En effet, dans ce cas, nousn
pouvons appliquer et développer des outils algébriques (à savoir, les extensions canoniques et
les extensions canoniques fortes) qui permettent de générer des logiques complètes.
Abstract
This dissertation is focused on an algebraic approach of some many-valued generalizations
of modal logics. The starting point is the definition of the [0;1]-valued and the Ł -valuedn
Kripke models, where [0;1] denotes the well known MV-algebra and Ł its finite subalgebran
1 n 1f0; ;:::; ;1g for any positive integer n.
n n
Two types of structures are used to define validity of formulas: the class of L-frames and
the class of Ł -valued L-frames. The latter structures are L-frames in which we specify inn
each worldu the set Ł (wherem is a divisor ofn) of the possible truth values of the formulasm
in u.
These two classes of structures define two distinct notions of validity. We use these notions
to study the problem of definability of classes of structures with modal formulas. We obtain
for these two classes an equivalent of the Goldblatt - Thomason theorem.
We are able to consider completeness problems with respect to these relational semantics
thanks to the connections between relational and algebraic semantics. Our strongest results
are about Ł -valued logic. We are indeed able to apply and develop algebraic tools (namely,n
canonical and strong canonical extensions) that allow to generate complete Ł -valued logics.njust
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com
s,
binaisons
de
de
?tre
ces
MV
constructions
alg?brique
p
?
ermetten
relation
t
s'agir
une
en
traduction
th?orie
alg?brique
Kripke
des
appro
questions
prop
concernan
alu?es).
t
trouv
le
m?me
couple
p
langage
ensem
mo
des
dal
?
-
par
structure
qu'il
relationnelle.
r?sultats
Elles
les
p
des
ermetten
ou
t
olon
par
outils
exemple
a
de
alu?es
r?soudre
mo
des
s
probl?mes
relations
de
des
compl?tud
ole,
e
requi
et
un
d'incompl?tude,
ts
d
r?sultats
e
les
d?nissabilit?
t
etc.
de
Les
et
r?sultats
Kripke
obten
ultiv
us
yp
gr?ce
du
?
:
cette
ti
appro
our
c
]),
he
obtenir
alg?brique
ules
son
premier
t
ou
n
visage
o
d'un
m
notre
breux.
guid?
Citons,
des
parce
p
que
p
nous
C'est
en
de
consid?rons
les
des
Les
g?n?ralisations
son
dans
lesquels
cette
?v
th?se,
MV-alg?bre
les
les
tra
pas
v
que
aux
eaucoup
de
des
Goldbla
esp
tt
v
et
une
Thomason
mo
?
e
prop
des
os
le
de
exemple,
la
o
d?nissabilit?
cette
des
par
classes
sous-alg?bre
?l?men
tout
taires
?
de
eux
structures
v
(v
cas
oir
d?les
[
t
24
est
]),
F
ceux
deux
de
de
J?nsson
c
(v
est
oir
ts
[
p
32
appli
])
n
qui
visage
constituen
syst?mes
t
[
une
th?me
v
d
ersion
priorit?
alg?brique
les
de
dales
ceux
ules
de
par
Sahlqvist
p
ainsi
leur
que
qu'il
les
(alg?bres,
r?sultats
mo
qui
in
?tend
?tences.
en
hoix,
t
ons
la
la
dualit?
de
de
d?les
Stone
ultiv
aux
lesquels
alg?bres
existan
de
aien
Bo
ou
ole
que
?
ons
op
oser
?rateurs
he
(v
m
oir
?ukasiewicz
[
d?les
29,
nous
52
ainsi
]).
d
F
v
usion
son
des
dans
genres
u
Nous
de
consacro
b
n
que
s
son
cette
ulti
d
t
issertation
v
?
partage
une
propri?t?s
?tude
cell
de
de
certaines
a
g?n?ralisations
d
m
dans
ultiv
les
alu
p
?
c
es
t
des
ns
logiques
de
mo
Malheureusemen
dales.
nous
Certains
in
auteurs
le
on
g?n?ral
t
n'est
d?j?
alu?s,
initi?
plus
de
que
telles
ons
g?n?ralisations
concernen
(v
d?les
oir
alu?s
[
d?signe
15
ositif
],
tier
[
p
13
ble
],
plus
[
d
14
v
],
de
[
?rit?
48
de
]).
classe
Puisque
mo
c'est
de
l'existence
don
des
la
s?man
d'accessibilit?
tiques
m
relationnelles
alu?e.
q
ace
u
ces
i
t
donna
es
?
g?n?ralisation
la
le
logique
hoix
mo
logicien
dale
dict?
ses
di?ren
lettres
crit?res
de
il
noblesse,
eut
il
des
a
ca
sem
o
bl?
s
coh?ren
en
t
p
?
ces
ces
formels
auteu
dans
rs
14
de
du
consid?rer
des
ce
qu'il
t
?sire
yp
en
e
(translation
de
tre
s?man
form
tique
mo
com
et
me
form
p
du
oin
ordre
t
exemple),
de
leur
d?part
ort?e
d'un
de
e
profondeur,
appro
outils
c
en
he
d'appliquer
m
coalg?bres,
ultiv
des
alu?e
d?les),
des
e
logiques
tuition
mo
d'app
dales.
Dans
Il
c
s'agit
nous
donc
v
de
?t?
sauv
par
er
v
la
t?
s?man
consid?rer
tique
mo
de
de
Kripke
m
an
alu?s
de
our
maximiser
les
les
alg?briques
c
t
hances
ouv
de
t
survie
appliqu?s
des
g?n?ralis?s.
logiques
ainsi
d?v
nous
elopp
v
?es.
d?cid?
La
rep
v
notre
ari?t?
c
des
sur
syst?mes
logiques
d?j?
ultiv
in
de
tro
.
duits
mo
le
de
prouv
que
e,
consid?rons
cette
t
con
des
train
d?les
te
ans
laisse
les
encore
ariables
?norm?-
ositionnelles
men
t
t
alu?es
de
une
lib
o
e
s
rt?s
compl?te
dans
la
le
-alg?
c
re
hoix
dans
de
(les
la
ne
s?man
t
tique
m
?
v
adopter
?tan
:
donn?
il
la
y
ari?t?
a
MV-alg?bres
de
b
nom
de
breu
a
ses
ec
p
e
ossibilit?s
alg?bres
de
Bo
g?n?raliser
nous
la
vions
d?nition
oir
d'un
e
mo
er
d?le
cette
de
ari?t?
Kripke
caract?ristiques
?
ses
un
our
cadre
appro
m
he
utliv
menan
alu?.
au
N?anmoins,
i
ces
?
g?n?-
th?or?me
ralisations
compl?tud
p
.
euv
t,
en
si
t
obtenons
se
r?sultats
r?partir
t?ressan
en
dans
deux
cas
classes,
plus
non
des
disjoin
d?les
tes.
ce
Il
-v
s'agit
les
de
les
la
f
classe
rts
des
nous
mo
rouv
d?les
dans
de
dissertation
Kripke
t
dans
mo
lesquels
?
les
-v
v
(o?
ariables
Ainsi,
prop
la
ositionnelles
).
son
p
t
strictemen
?v
en
alu?es
our
dans
de
un
la
[0,1]
[0,1]
1 n−1{0, ,..., ,1}n n n n
[0,1] nv
INTR
langage
ODUCTI
classe
ON
dans
ix
ble
?
.
extensions
Ulam
-v
sans
alu?s
niv
que
dales
n
unaire
o
p
u
ra
s
niv
parv
Une
enons
elle
?
des
d?crire
de
la
en
plus
ecter
p
taire
etite
l'?tude
logique
eut-?tre
mo
s'agit
dale
mon
normale,
?
c'est
en
?
duisons
dire
relationnelles
l'ensem
m
b
alide
le
es
des
du
form
du
ul
d
es
p
qui
les
son
ne
t
autoris?es
vraies
-structures
dans
e
tous
Kripke
les
en
mo
?v
d?les
le
?
structures
des
tiv
-v
des
alu?s.
illustrons
La
est
dicult?
couc
d'obtenir
jeux
des
dans
r?sultats
et
p
.
our
deuxi?me
les
s?man
mo
v
d?les
est
th?orie
binaire
la
form
eet,
structure
-v
tous
alu?s
ra
est
structure.
imputable
p
?
l
certains
Nous
d?fauts
celui
des
-structu-
th?or?mes
dans
de
m
repr?sen
de
tation
t
des
ensem
MV-alg?bres.
l?te
En
aluations
eet
doiv
si,
classe
co
?l?men
mme
t
c'est
comme
le
langage
cas
tien
p
our
our
alg?brique
les
t
alg?bres
form
de
des
Bo
r
ole,
de
une
des
MV-alg?bre
mo
d'une
a
v
le
ari?t?
dans
ni
dal.
m
d?nitions
en
t
t
ossible
engendr?e
une
p
dynamique
eut
terpr?tation
?tre
R?nyi
repr?sen
elopp
t?e
45
comme
de
un
e
pro
de
duit
in
b
u
o
e
ol?en
gamme
de
u
ses
le
quotien
des
ts
de
s
ensem
imples,
d'une
ce
mo
r?sultat
aluation).
n'est
est
pas
un
vrai
Kripke
dans
vraie
la
mo
v
us
ari?t?
t
des
?
MV-alg?bres
s'agit
(dans
eau
laquelle
l'?tu
les
relationn
ltres
?
premiers
mo
et
alors
ma
suppl?men
ximaux
p-structures
ne
?
co
Il
?
de
nciden
on
t
c
pas).
de,
Le
v
con
?rit?s
ten
ules
u
?
Prol?gom?nes.
monde
Le
est
premier
co
c
ultiv
hapitre
Les
d
son
e
ces
cette
t
dissertation
r?gles.
rapp
?
elle
une
quelques
de
n
p-structures.
o
celle-ci,
ti
obten
o
classe
n
l'extension
s
structures
?
co
prop
un
os
tre
de
sous-alg?bre
la
liens
v
La
ari?t?
con
des
mondes
MV-alg?bres.
t
Le
dans
c
ce
hoix
on
de
e
ces
r?alise
notions
l'imp
est
classes
forc?men
la
t
tiques
orien
les
t?,
m
et
En
le
t,
lecteur
niv
qui
lus
d?sire
programmes
plus
le
d'informations
mo
?
Nous
prop
ces
os
en
de
l
cette
qu'il
v
p
ari?t?
de
est
jouter
in

vit?
he
?

consulter
l'in
la
du
monographie
de
[
-
10
d?v
]
?e
ou
[
l'article
]
[
termes
22
MV-alg?bres
].
d
Outre
logiques
des
alu?es
g?n?ralit?s,
?ukasiewicz
nous
Nous
rapp
tro
elons
alors
aussi
n
dans
niv
la
au
troisi?me
la
section
des
de
tiq
ce
es
c
:
hapitre
ni
quelques
eau
r?sultats
structures.
?
structure
prop
Kripke
os
un
de
ble
la
uni
construction
relation
de
(un
certains
d?le
termes
v
d
Une
u
ule
lan
v
g
dans
age
e
des
de
MV-alg?bres.
si
Ces
est
r?sultats
dans
son
les
t
d?l
d'une
obten
imp
en
ortance
joutan
capitale
une
p
aluation
our
la
le
Il
reste
donc
de
niv
la
ad?quat
dissertation.
our
Mo
de
d?les
structures
et
e
structures.
les
Le
l'aide
deuxi?me
langage
c
dal.
hapitre
d?nissons
d?bute
un
par
eau
l'
taire,
in
des
tro
et
duction
es
des
a
m
res.
o
s'agit
d?les
structures
de
Kripke
Kripke
lesquelles
En
pr?cise,
-v
our
alu?s
haque
o?
on
elles.
l'ensem
est
des
une
aleurs
MV-alg?bre
v
compl?te.
que
Nous
form
prouv
son
ons
autoris?es
que
prendre
si
ce
relationn
(cet
est
ble
une
u
MV-alg?bre
sous-alg?bre
compl?te
mp
et
de
compl?temen
m
t
).
distributi
v
v
qui
e,
t
alors
sur
dans
structures
un
en
certain
resp
sens,
ces
to
La
u
des
t
mo
probl?me
est
concernan
sous-classe
t
taire
les
la
mo
des
d?les
Quan
tique
?
-v
ell
alu?s
est
?q
ue
u
une
iv
?l?men
aut
dans
?
du
un
des
probl?me
de
?
qui
prop
n
os
t
de
pr?dicat
mo
logiques
d?les
p
s?man
toute
et
compl?te
u?es
de
-v
des
alu?s.
.
Nous
relation
in
our
tro
tien
duison
les
s
qui
?galemen
aluen
t
leurs
les
ules
mo
p
d?les
?
p
stade
our
c
une
structions,
g?n?ralisation
l
m
cteu
ultiv
ne
alu?e
p
de
pas
la
ortance
logique
ces
dynamique
de
prop
dans
ositionnel
gamme
le
s?man
qui
relationnelles
est
our
une
logiques
logique
dales
de
ul-
programmes
alu?es.
qui
f
rep
i
ose
il
sur
du
une
eau
in
p
terpr?ta-
naturel
tion
tran
n
n
[0,1]
A A A
A [0,1]
n
[0,1]
n
rB
B [0,1] rB
Bles
INTR
cat?gorie
ODUCTI
alg?bres
ON
MV-alg?bres
x
compl?tude.
canoniques
joue
p
la
eut
sion
?tre
les
app
t
liqu?e
Kripke
p
ite
our
?rateurs
?tud
morphismes
ier
consid?rons
des
v
probl?mes
En
de
son
compl?tude
des
de
normale
logiques
cas
?
?
capitale.
un
-
hapitre
v
compl?temen
alu?es,
?c
mais
(don
les
des
r?su
part
ltats
construction
obten
la
us
alg?bre.
impliquen
du
t
2.78
des
structures
classes
Syst?mes
de
troisi?me
?
classes
ortance
tique
-structures
?
et
de
non
pl?tude
simplemen
canoniques
t
pr?c?demmen
des
?
classes
alg?brique.
de
section
structures
lit?
d
Bo
e
a
Kripke
part
.
les
Le
des
deuxi?me
hes
c
des
hapitre
la
se
t
p
cat?gories
oursuit
t
par
l
la
en
pr?sen
complexe
tation
la
d'une
en
panoplie
des
de
tt
constructions
s
de
resp
structures
tionn?
auxquelles
par
son
-mo
t
m
asso
sac
ci?es
probl?me
des
vis
r?sultats
relationnelles.
de
de
pr?serv
toute
ation
alu?e
d
la
e
c
v
dans
alidit?
un
de
des
form
on
ules
co
du
Lemme
langage
in
mo
o
dal.
en
Ces
ondan
constructions
g?n?ralisons
p
la
ermetten
deuxi?me
t
c?l?bre
d'em
tre
b
alg?bres
l?e
compl?tes
de
distributiv
donner
ec
des
d'u
exemples
t
de
son
propri?t?s
complets)
de
-
structures
de
ou
les
de
t
?
orn?s)
imp
p
-structures
compl?tes
qui
t?gorie
ne
et
p
es
euv
t
en
structures.
t
un
pas
e
?tre
structures.
d?nies
de
par
obten
des
osan
form
de
ules
structure
mo
celle
dales
canonique
parce
nous
qu'elles
an
n
des
e
deux
son
de
t
Thomsason
pas
l
conserv
2.75
?es
ct?risen
par
emen
une
de
de
et
ces
erm
constructions.
duit
De
?
plus,
t
elles
da
appara?tron
alu?s
t
co
dans
s
la
hapitre
v
de
ersion
mo
?
vis
d'une
e
-v
r?sultats
alu?e
l'in
du
s?ma
th?or?me
En
de
mo
Golbla
ul
tt
compl?te
-
d
Thomason
ari?t?
qui
d?nit.
caract?rise
?
ces
p
classes
rtain
mo
traduite
dalemen
de
t
?
d?nissables.
tiques
L'outil
les
alg?brique
des
en
des
tre
lex
alors
eet,
en
d?j?
jeu
t
par
tro
l'in
p
term?diaire
ss
de
d
la
t
v
corresp
ari?t?
t
des
Nous
MV-alg?bres
ensu
?
dans
op
cinqui?me
?rateurs
du
que
c
nous
la
d?niss
dua-
o
en
n
la
s.
des
Nous
de
in
ole
tro
et
duisons
t
?galemen
es
t
v
div
op
erses
complets
notions
ne
d'alg?bres
(don
com-
les
plexes
hes
a
t
s
homomorphismes
so
et
ci?es
ca
?
t?gorie
des
structures
structures
Kripke
(ou
t
p-structures)
?c
an
son
de
les
capturer
b
dans
?
l
dualit?s
e
our
langage
sous-cat?gories
alg?brique
de
les
ca
th?ories
des
mo
compl?tes
dales
compl?temen
de
distributiv
ces
d'une
stru
e
ctures.
des
Les
de
constructions
Nous
in
ensuite
v
dernier
erses,
yp
celles
de
qui
de
p
I
ermetten
s'agit
t
l'exten-
d'asso
canonique,
cier
ue
des
comp
structures
t
aux
construction
alg?bres
l'alg?bre
son
d'une
t
a
alors
ec
en
de
visag?es.
structure
Ain
d'une
si,
Enn,
si
obtenons,
r?le
suiv
est
t
une
traces
MV-alg?bre
r?sultats
?
auteurs,
op
g?n?ralisations
?rateurs,
th?or?me
ses
Goldbla
structures
-
canoniques
.
on
eet,
t
e
p
Th?or?mes
our
et
univ
cara
ers
t
l'ens
ectiv
e
t
m
classes
ble
?
des
-structures
ltres
de
maximaux
f
de
?es
un
ultrapro
.
qui
?
t
cet
en
?gard,
dalemen
le
d?nissables.
Lemme
mo
2.40
ux
est
ultiv
fondamen-
et
tal
Nous
p
n
our
ron
la
le
suite
c
de
au
la
g?n?ral
dissertation.
compl?tude
Il
logiques
prouv
dales
e
?
que
des
le
d
mo
structures
d
Les
?le
s'obtiennen
canonique
par
asso
term?diaire
ci?
la
?
n
un
alg?brique.
mo
eet,
d?le
logique
alg?brique
dale
s'?tend
m
naturellemen
tiv
t
est
aux
vis
form
vis
ules.
e
L'o
v
cca
des
si
qu'elle
o
Cette
n
ompl
se
tu
pr?sen
alg?brique
te
eut
alors
ce
de
s
prouv
?tre
er
en
que
r?sultat
les
com-
di?ren
vis
ts
vis
t
s?man
yp
de
es
via
de
c
constructions
structions
de
structures
struc-
et
tures
alg?bres
que
mp
nous
es.
a
cet
v
le
o
2.40
n
m
s
duits
n
n
n
n
A
A
n
n