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UNIVERSITE PARIS XIUFR SCIENTIFIQUE D’ORSAYTHESEpr¶esent¶eepour obtenir le grade deDOCTEUR EN SCIENCESDE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAYSp¶ecialit¶e : Math¶ematiquesParMadalina PETCUTitre :REGULARITE ET ASYMPTOTIQUEPOUR LES EQUATIONS PRIMITIVESSoutenue le 16 mai 2005 devant la Commission d’examen :M. Fran»cois ALOUGESM. Jacques BLUMM. Beno^‡t DESJARDINSM. George DINCAMme. Isabelle GALLAGHERM. Jacques LAMINIEM. Roger TEMAMApr?es avis des rapporteurs : M. Beno^‡t DESJARDINSMme. Isabelle GALLAGHERRemerciementsMa reconnaissance va tout d’abord a? mes directeurs de these,? George Dinca et RogerTemam pour m’avoir encadr¶ee et aid¶ee a? mener a? bien ce travail.Ma plus profonde gratitude va vers Roger Temam pour sa sympathie, sa patience,sa disponibilit¶e et ses conseils. J’ai appris ¶enormement gr^ace a? lui, et je ne pense passeulement aux ¶equations aux d¶eriv¶ees partielles, aux probl?emes math¶ematiques li¶es a? lam¶et¶eorologie, ou a? la grammaire fran»caise ou anglaise... Last but not least, je le remerciechaleureusement pour son soutien continu dans les moments di–ciles quand les maths nemarchaient pas ou quand j’etais perdue dans des problemes? administratifs. ProfesseurTemam : pour tout cela, un grand merci !Je remercie ¶egalement a? George Dinc‚a pour m’avoir fait d¶ecouvrir les math¶ematiquesappliqu¶ees, pour sa symphatie, son soutien et sa conflance. C’est gr^ace a? ses encourage-ments que j’ai d¶ecid¶e de commencer cette these? et je ...

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UNIVERSITE PARIS XI
UFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY
THESE
pr¶esent¶ee
pour obtenir le grade de
DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAY
Sp¶ecialit¶e : Math¶ematiques
Par
Madalina PETCU
Titre :
REGULARITE ET ASYMPTOTIQUE
POUR LES EQUATIONS PRIMITIVES
Soutenue le 16 mai 2005 devant la Commission d’examen :
M. Fran»cois ALOUGES
M. Jacques BLUM
M. Beno^‡t DESJARDINS
M. George DINCA
Mme. Isabelle GALLAGHER
M. Jacques LAMINIE
M. Roger TEMAM
Apr?es avis des rapporteurs : M. Beno^‡t DESJARDINS
Mme. Isabelle GALLAGHERRemerciements
Ma reconnaissance va tout d’abord a? mes directeurs de these,? George Dinca et Roger
Temam pour m’avoir encadr¶ee et aid¶ee a? mener a? bien ce travail.
Ma plus profonde gratitude va vers Roger Temam pour sa sympathie, sa patience,
sa disponibilit¶e et ses conseils. J’ai appris ¶enormement gr^ace a? lui, et je ne pense pas
seulement aux ¶equations aux d¶eriv¶ees partielles, aux probl?emes math¶ematiques li¶es a? la
m¶et¶eorologie, ou a? la grammaire fran»caise ou anglaise... Last but not least, je le remercie
chaleureusement pour son soutien continu dans les moments di–ciles quand les maths ne
marchaient pas ou quand j’etais perdue dans des problemes? administratifs. Professeur
Temam : pour tout cela, un grand merci !
Je remercie ¶egalement a? George Dinc‚a pour m’avoir fait d¶ecouvrir les math¶ematiques
appliqu¶ees, pour sa symphatie, son soutien et sa conflance. C’est gr^ace a? ses encourage-
ments que j’ai d¶ecid¶e de commencer cette these? et je le remercie chaleureusement pour
cela. Ses conseils sur les math¶ematiques et sur difi¶erents problemes? m’ont toujours aid¶e.
JeremercieaussiSerbanStratilapoursaconflanceconstantependanttoutescesann¶ees
d’¶etudes.
Ma reconnaissance va aussi a? Beno^‡t Desjardins et a? Isabelle Gallagher pour avoir
accept¶e de rapporter sur ma th?ese et aussi pour l’int¶er^et qu’ils ont port¶e a? ce travail. Je
remerciechaleureusementFran»coisAlouges, JacquesBlumetJacquesLaminiedem’avoir
fait l’honneur de faire partie de mon jury.
Jesouhaiteraisremerciertoutel’¶equiped’AnalyseNum¶eriqueetEquationsauxD¶eriv¶ees
Partielles d’Orsay qui a rendu la p¶eriode de ma these? agr¶eable et enrichissante. Je pense
¶egalement a? Danielle Le Meur, Catherine Poupon et Marie-Christine Myoupo que je re-
mercie pour leur aide.
Je remercie les personnes avec lesquelles j’ai partag¶e le bureau et avec lesquelles j’ai
travaill¶e : Aline, Antoine, Beno^‡t, Bouthaina, Djoko, Fatima, Jean-Paul, Karim, Karine,
Kritof, Ludo, Makram, Martin, Mehdi, Olivier, Selma, Sylvain et Virginie. Parmi eux
je n’ai pas trouv¶e seulement des collegues? \jolis" et de bons collaborateurs qui m’ont
soutenue, mais aussi de tr?es bons amis que je suis ravie de rencontrer. Leur amiti¶e et
leur soutien chaleureux m’a ¶enormement aid¶e : merci mes amis pour ^etreal et pour me
supporter.
Je remercie profond¶ement ici mes amis pour l’amiti¶e, le soutien, la conflance et leur
pr¶esence continus malgr¶e la distance.
Enfln, je remercie ma famille pour son soutien et son afiection depuis toujours. Je
pense particulieremen? t a? ma mere? : sans son amour et son encouragement continus rien
n’aurait ¶et¶e possible !
A vous tous, je sais que je vous dois beaucoup...mamei...Regularity Properties and Asymptotics for the
Primitive Equations
Abstract
This thesis, containing four chapters, studies the existence, uniqueness and regularity
of the solutions for the Primitive Equations of the oceans and the atmosphere in dimen-
sions2and3(Chapters1{3),andalsotheasymptoticbehaviorofthePrimitiveEquations
when the Rossby number goes to zero (Chapter 4).
In the flrst chapter we consider the Primitive Equations of the ocean in a two dimen-
sionalspacewithperiodicboundaryconditions. Theequationsmodelathreedimensional
motion,inwhichallthefunctionsdependonlyonthehorizontalwest-eastandthevertical
directions. We prove the existence, globally in time, of a weak solution and the existence
and uniqueness of strong solutions. Moreover, we prove the existence of more regular
1solutions, up toC regularity.
Inthesecondchapteramodelsimilartothatconsideredintheflrstchapteristreated.
Working in a two dimensional space with periodical boundary conditions, we prove that,
foraforcingtermwhichisanalyticalintimewithvaluesinaGevreyspace,thesolutionsof
the Primitive Equations starting with the initial data in a certain Sobolev space become,
for some positive time, elements of a certain Gevrey class. The result also implies that
the solutions are real analytic functions.
As a natural continuation of the work from the flrst two chapters, in the third chapter
weconsiderthePrimitiveEquationsina3DdomainandwestudytheSobolevandGevrey
regularity for the solutions. We obtain, as for the case of the 2D Primitive Equations,
the existence of weak solutions and of a unique regular solution, but in this case we have
the of strong only locally in time. The result obtained on the Gevrey
regularity for the three dimensional case is similar to that concerning the 2D case.
Thelastchapterofthethesisisdevotedtothestudyoftheasymptoticbehaviorwhen
theRossbynumbergoestozero,forthePrimitiveEquationsintheformconsideredinthe
flrstchapter. Theaimofthisworkistoaverage,usingtherenormalizationgroupmethod,
the oscillations of the exact solution when the Rossby number goes to zero, and to prove
that the averaged solution is a good approximation of the exact oscillating solution.
Keywords: Primitive Equations, energy estimates, high-order regularity, Gevrey regu-
larity, analyticity, renormalization group method, error estimate
AMS Classiflcation (2000): 35B65, 35C20, 35Q35, 76D03, 76D50R¶egularit¶e et asymptotique pour les Equations
Primitives
R¶esum¶e
Cem¶emoirecompos¶edequatrechapitres,r¶eunitunnombreder¶esultatssurl’existence,
l’unicit¶e et la r¶egularit¶e des solutions pour les Equations Primitives des oc¶eans et de
l’atmosphere,? en dimension deux et trois d’espace (Chapitres 1{3), ainsi qu’une¶etude sur
lecomportementasymptotiquedesEquationsPrimitivesquandlenombredeRossbytend
vers zero (Chapitre 4).
Danslepremierchapitre,onconsidere? lesEquationsPrimitivesdel’oc¶eanendimension
deux d’espace, avec des conditions aux limites p¶eriodiques. Les equations modelisen? t un
mouvement tri-dimensionel, dans lequel toutes les fonctions dependent seulement de la
longitude(directionest-ouest)etdelavariableverticale.Onmontrel’existenceglobaleen
tempsd’unesolutionfaiblepourlesEquationsPrimitives,ainsiqueetl’unicit¶e
d’une solution forte. De plus, on prouve l’existence d’une solution plus r¶eguliere,? jusqu’ a
1la r¶egularit¶eC .
Dans le deuxieme? chapitre on considere? un modele? semblable a? celui du chapitre
pr¶ec¶edent. On travaille aussi avec des conditions aux limites periodiques et on montre
que, pour une force analytique en temps a? valeurs dans un espace du type de Gevrey, et
unedonn¶eeinitialedansuncertainespacedutypedeSobolev,lessolutionsdesEquations
Primitives appartiennent, pour un certain intervalle de temps, a? un espace de Gevrey. Le
r¶esultat implique aussi que les solutions sont des fonctions r¶eelles analytiques.
Le troisieme? chapitre est une continuation naturelle des deux premiers chapitres. On
considere? icilesEquationsPrimitivesendimensiontroisd’espaceeton¶etudielar¶egularit¶e
du type de Sobolev et de Gevrey pour les solutions. On obtient, comme pour le cas de la
dimension deux d’espace, l’existence d’une solution faible ainsi que l’existence et l’unicit¶e
d’une solution forte, mais dans ce cas on a seulement l’existence locale en temps de la
solution forte.
Le dernier chapitre de la these? est dedi¶e a? l’¶etude du comportement asymptotique
des Equations Primitives, quand le nombre de Rossby tend vers zero. Les Equations
Primitivessontconsid¶er¶eessouslaforme introduitaupremierchapitre(¶ecartparrapport
a? une solution simple stratiߦee). Le but de ce travail est de "moyenniser" la solution
exact tres? oscillante quand le nombre de Rossby est petit, en utilisant une m¶ethode de
renormalisation; la solution renormalis¶ee est construit est l’on montre que la solution
approximative est une bonne approximation de la solution exacte.
Mots cl¶e : Equations Primitives, estimation de l’energie, regularit¶e d’ordre
sup¶erieure, r¶egularit¶e du type de Gevrey, m¶ethode de la renormalisation, es-
timation d’erreur
AMS Classiflcation (2000) : 35B65, 35C20, 35Q35, 76D03, 76D50Table des matieres?
Introduction (English version) 11
Introduction (en fran»cais) 17
Premiere? Partie
Etude qualitative des Equations Primitives 23
1 Existence and Regularity Results for PEs in 2D 25
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Existence of the Weak Solutions for the PEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 and Uniqueness of Strong Solutions for the PEs . . . . . . . . . 33
1.4 More Regular Solutions for the PEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Appendix: Physical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Gevrey Class Regularity for PEs in 2D 49
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 A Priori Estimates for the Real Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Time Analyticity in Gevrey Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Sobolev and Gevrey regularity results for PEs in 3D 67
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Sobolev regularity results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Gevreyy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Deuxieme? Partie
Comportement asymptotique des Equations Primitives 89
4 Renormalization Group Method for Primitive Equations 91
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 The Initial and Renormalized Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.1 The PEs in Space Dimension Two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.2 Asymptotics and Renormalization Group Method . . . . . . . . . . 98
4.3 Description of the Renormalized System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010
4.3.1 The Original Equations in Fourier Modes . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3.2 The Renormalized Equation. Existence of Weak Solutions . . . . . 106
4.3.3 Strong Solutions for the Renormalized Equation . . . . . . . . . . . 107
4.3.4 More Regular Solutions for the Renormalized System . . . . . . . . 108
4.4 First-Order Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Appendix: Derivation of the renormalized equation . . . . . . . . . . . . . 117
4.6 Auxiliary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.1 A Result in Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.2 Another Estimate for Small Denominators . . . . . . . . . . . . . . 127