Comportement Asymptotique d’Equations à Derivees Partielles Stochastiques
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Comportement Asymptotique d’Equations à Derivees Partielles Stochastiques

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UNIVERSITE DE GENEVE FACULTE DES SCIENCES Section de Physique Professeur J. P. ECKMANN Comportement Asymptotique d’Equations a Derivees Partielles Stochastiques THESE present´ ee´ a` la Faculte´ des Sciences de l’Universite de Geneve pour obtenir le grade de Docteur es` Sciences,mention physique par Martin HAIRER Autriche These` No 3XXX`GENEVE Atelier de reproduction de la Section de Physique 2001 Remerciements Lorsqu’arrive le moment de tirer un bilan de trois annees´ passees´ a` travailler sur une these,`il convient de s’interroger sur les personnes qui nous ont aidees´ directement ou indirecement dans ce parcours. Une telle demarche´ comporte toujours le risque d’un oubli involontaire et je ne ferai certainement pas exception a` cette regle.` Je demande donc en tout premier lieu aux personnes que j’aurai oublie´ de citer de bien vouloir me pardonner et de mettre un tel oubli sur le compte des erreurs humaines.´ ˆ ´La personne qui a sans conteste joue le role majeur dans l’elaboration de ce travail est mon directeur de these,` Jean Pierre Eckmann. Il a su rester disponible a` tout moment et a toujours pleinement assume´ les diverses fonctions de son roleˆ avec competence´ et serieux,´ mais non sans humour. Son approche tres` directe de la science et son aptitude a` saisir l’essentiel d’un probleme` auront, je l’espere,` une influence durable sur mon travail.Parmi toutes les autres personnes qui ont accepte´ de partager avec moi leurs connaissances et ...

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´ ` ´UNIVERSITE DE GENEVE FACULTE DES SCIENCES
Section de Physique Professeur J. P. ECKMANN
´Comportement Asymptotique d’Equations
a` Deri´ vees´ Partielles Stochastiques
`THESE
present´ ee´ a` la Faculte´ des Sciences
de l’Universite´ de Genev` e
pour obtenir le grade de Docteur es` Sciences,
mention physique
par
Martin HAIRER
Autriche
These` No 3XXX
`GENEVE
Atelier de reproduction de la Section de Physique
2001Remerciements
Lorsqu’arrive le moment de tirer un bilan de trois annees´ passees´ a` travailler sur une these,`
il convient de s’interroger sur les personnes qui nous ont aidees´ directement ou indirecement
dans ce parcours. Une telle demarche´ comporte toujours le risque d’un oubli involontaire et je
ne ferai certainement pas exception a` cette regle.` Je demande donc en tout premier lieu aux
personnes que j’aurai oublie´ de citer de bien vouloir me pardonner et de mettre un tel oubli sur
le compte des erreurs humaines.
´ ˆ ´La personne qui a sans conteste joue le role majeur dans l’elaboration de ce travail est mon
directeur de these,` Jean Pierre Eckmann. Il a su rester disponible a` tout moment et a toujours
pleinement assume´ les diverses fonctions de son roleˆ avec competence´ et serieux,´ mais non
sans humour. Son approche tres` directe de la science et son aptitude a` saisir l’essentiel d’un
probleme` auront, je l’espere,` une influence durable sur mon travail.
Parmi toutes les autres personnes qui ont accepte´ de partager avec moi leurs connaissances
et leur vision de la science, je voudrais citer Mathieu Baillif, Dirk Blomk¨ er, Stella Brassesco,
Sandra Cerrai, David Cimasoni, Pierre Collet, Thierry Gallay, Tarik Garidi, Ernst Hairer, Andre´
Henriques, Markus Kunze, Olivier Lev´ eque,ˆ Xue Mei Li, Daniel Matthey, Jonathan Matting
ly, Marius Mantoiu, Nicolas Musolino, Claude Alain Pillet, Luc Rey Bellet, Marco Romito,
Jacques Rougemont, Alain Schenkel, Armen Shirikyan, Andre´ Stefanov, Larry Thomas, Guil
laume van Baalen, Gerhard Wanner, Peter Wittwer, Lai Sang Young et Emmanuel Zabey.
Un travail de these` ne se resume´ jamais a` la seule demarche´ scientifique. C’est pourquoi je
voudrais eg´ alement remercier ici ma famille ainsi que mes amis. J’espere` qu’ils se reconnaˆıtront
tous sans que je doive les citer individuellement par peur d’une omission inevitable.´
n Ao dJe remercie aussi D al K ut et Leslie Lamport pour avoir dev´ eloppe´ T X et LT X res n h E E
pectivement. Je ne sais pas ou` j’en serais dans la redaction´ de ce travail sans ces outils aussi
o tindispensables que r b s s.u e
´Enfin, je voudrais exprimer ma gratitude aux membres du jury, Gerard Ben Arous, David
Elworthy et Peter Wittwer d’avoir accepte´ d’endosser cette responsabilite.´`Table des Matieres
I Introduction 1
1 Presentation´ du Modele` et Formulation du Probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Unicite´ de la Mesure Invariante – Techniques de Demonstration´ . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 La methode´ de la dissipativite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 La m´ du recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 La methode´ du couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Unicite´ de la Mesure Invariante – Resultats´ Obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Methode´ du recouvrement pour des situations deg´ en´ er´ ees´ . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Gen´ eralisation´ de la methode´ du couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Conclusions et Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Invariant Measures for Stochastic PDE’s in Unbounded Domains 15
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Definitions and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 The Stochastic Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Factorization of the stochastic convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Estimate on the processY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21L,δ
3 Existence of the Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Analyticity of the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Existence of an Invariant Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A Dissipative Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III Uniqueness of the Invariant Measure for a Stochastic PDE
Driven by Degenerate Noise 35
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Some Preliminaries on the Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 The combinatorics for the complex Ginzburg Landau equation . . . . . . . . . . . 42
4 Strong Feller Property and Proof of Theorem 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Regularity of the Cutoff Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 Splitting and interpolation spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Proof of Theorem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Smoothing properties of the transition semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Malliavin Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1 The construction ofv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 The Partial Malliavin Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1 Finite dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Infinite case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
¨7.3 The restricted Hormander condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 Estimates on the low frequency derivatives (Proof of Proposition 5.3) . . . . . . . . 64
8 Existence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.1 The noise term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 A deterministic problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Stochastic differential equations in Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.4 Bounds on the cutoff dynamics (Proof of Proposition 5.1) . . . . . . . . . . . . . . 72
8.5 on the off diagonal terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.6 Proof of Proposition 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IV Exponential Mixing for a Stochastic PDE Driven by Degenerate Noise 77
1 Model and Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 A Variant of the Perron Frobenius Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Contraction Properties of the Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Strong Feller Chains and Small Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1 Existence of accessible small sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
V Exponential Mixing Properties of Stochastic PDEs Through Asymptotic Coupling 87
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.1 A toy model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2 The Coupling Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2 Definition of coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3 The binding construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Assumptions on the Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1 Lyapunov structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Binding property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 An Exponential Mixing Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Application to Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1 The Ginzburg Landau equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 A reaction diffusion system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3 A chain with nearest neighbour interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Ref´ er´ ences 121I. Introduction
Ce memoire´ est consacre´ a` l’etude´ asymptotique (a` grand temps) des solutions d’equations´
` ´ ´ ´ ´ `a derivees partielles paraboliques perturbees par une force aleatoire. Le probleme principal
que nous abordons est la demonstration´ de l’existence et surtout de l’unicite´ d’un etat´ station
naire pour certaines classes d’equations.´ Le prototype des problemes` que nous considerons´ est
l’equation´ de Ginzburg Landau, donnee´ par
2 3∂u =∂ u+u−u , u(x,0) =u (x) , (0.1)t 0x
ou` u(x,t) est une fonction reelle´ et periodique´ de periode´ 2L en x. On peut considerer´ (0.1)
´ ´comme une equation d’evolution dans un espace de Hilbert abstrait H, par exemple H =
2L ([−L,L], R). Il decoule´ alors de resultats´ bien connus [Lun95] que les solutions de (0.1)
definissent´ un semiflot{ϕ} surH, via la formuleu(x,t) =ϕ (u )(x).t t≥0 t 0
Des equations´ du type (0.1) (comme par exemple aussi l’equation´ de Swift Hohenberg qui
peut etreˆ traˆıtee´ de la memeˆ maniere)` servent a` decrire´ une multitude de problemes` physiques.
Quelques exemples sont donnes´ par la croissance d’interfaces, les flots de Couette Taylor ou en
core l’ev´ olution d’un echantillon´ dans lequel coexistent deux phases stables comme par exemple
un systeme` ferromagnetique.´ Dans un monde idealis´ e´ sans bruit, l’equation´ deterministe´ (0.1)
donnerait une description correcte des phenom´ enes` observes.´ Une formulation plus proche de
la nature est obtenue en ajoutant un terme de bruit. Il existe plusieurs causes physiques donnant
lieu a` un tel bruit.
• Une equation´ du type (0.1) est gen´ eralement´ vue comme limite hydrodynamique d’une
dynamique microscopique sous jacente. Tout systeme` reel´ est fini et comporte donc des
fluctuations dans les variables macroscopiques dues a` cette dynamique microscopique.
Ainsi, il est possible de deri´ ver la version stochastique de (0.1) comme limite macro
scopique de la dynamique de Glauber (voir par exemple l’article de revue [GLP99]).
• L’interaction d’un systeme` avec un environnement aleatoire´ donne eg´ alement lieu a` des
fluctuations dans les observables macroscopiques.
D’un point de vue aussi bien mathematique´ que physique, il est eg´ alement interessant´
d’etudier´ quelles caracteristiques´ de (0.1) sont preserv´ ees´ sous des perturbations stochastiques
et lesquelles ne le sont pas.
Avant de discuter de l’effet d’un terme aleatoire´ sur cette equation,´ cherchons a` comprendre
sa dynamique deterministe.´ Pour une exposition detaill´ ee´ de cette dynamique, nous renvoyons
le lecteur aux travaux [CP89, CP90, ER98, Rou99]. Calculons d’abord les points fixes de (0.1).
Il s’agit donc de trouver des solutions2L periodiques´ a` l’equation´
2 3∂ u+u−u = 0. (0.2)x
Si l’on interprete` la variableu comme une positionq et la variablex comme un temps, on voit
que l’equation´ (0.2) est equi´ valente au systeme` Hamiltonien
q˙ =∂ H(p,q) , p˙ =−∂ H(p,q) , (0.3)p q2 INTRODUCTION
V (q) p
q q
q =−1 q = 1
Figure 1: Potentiel et lignes de niveau pour (0.3).
avec
2p 1 22H(p,q) = +V (q) , V (q) =− (1−q ) .
2 4
La Figure 1 ci dessus montre la forme du potentielV , ainsi que les lignes de niveau deH dans
l’espace (p,q). Les lignes dessinees´ en gras correspondent aux solutions periodiques´ de periode´
2L pourL = 8.
En plus des trois solutions trivialesu ≡ 0 etu ≡ ±1, il existe dans ce cas deux familles
de points fixes parametris´ ees´ par leur phase. Une etude´ de stabilite´ permet de voir que les
points fixesu ≡ ±1 sont lineairement´ stables, alors que les autres points fixes possedent` des
variet´ es´ instables de dimension finie (dependant´ de la valeur deL), voir par exemple [CP90].
L’ensemble de ces points fixes et de leurs variet´ es´ instables definit´ l’attracteurA de (0.1), en
d’autres termesA est un ensemble compact, invariant sous le semiflotϕ et qui attire chaquet
ensemble borne´ suffisamment grand.
Cet attracteurA caracterise´ une partie du comportement asymptotique des solutions dans le
sens que toutes les solutions finiront par se trouver arbitrairement proches deA lorsqu’on fait
tendre le tempst vers l’infini. (Dans l’exemple consider´ e,´ on peut montrer que toutes solutions
convergent finalement vers un des points fixes du systeme.)` Neanmoins,´ memeˆ si on peut definir´
des attracteurs stochastiques [CDF97], la notion d’attracteur (ou de point fixe) n’est pas tres` bien
´ ` ´ ` ´ ´ ` ´ ´adaptee a l’etude de systemes perturbes par du bruit, surtout si l’on s’interesse a leurs proprietes
statistiques, plutotˆ qu’au comportement d’une trajectoire particuliere.`
En effet, etant´ donnee´ une observableG du systeme` (c’est a dire` une fonction mesurable et
bornee´ G:H→ R), on s’interesse´ souvent a` la convergence des moyennes empiriques donnees´
par
Z T1
hGi = lim (G◦ϕ )(u )dt. (0.4)t 0
T→∞T 0
(On prendra l’esperance´ de l’expression de droite dans un contexte probabiliste.) Une telle
limite n’existe pas forcement´ et, memeˆ si elle existe, elle peut bien surˆ dependre´ de la condition
initialeu . Dans notre cas, par exemple, on aura pour des observables continueshGi =G(u ),0 f
ou`u est le point fixe vers lequel la solution converge. Dans certains cas neanmoins,´ le systeme`f
perd la memoire´ de sa condition initiale sous l’influence d’un bruit exterieur´ ou d’une chaoticite´INTRODUCTION 3
intrinseque.` Dans ce cas, il arrive que la limite (0.4) existe et soit la memeˆ pour “la plupart” des
conditions initialesu . On peut alors trouver une mesureμ surH telle que, pour la plupart des0 initiales,
Z
hGi = G(u)μ(du). (0.5)
H
Si une telle mesureμ existe, elle sera une mesure invariante pour (0.1).
De maniere` gen´ erale,´ une mesure invariante pour (0.1) est une mesure de Borelμ surH qui
´reste inchangee lorsqu’on la transporte avec le semiflotϕ . En d’autres termes, une mesureμt
est invariante lorsque
−1μ(A) =μ(ϕ (A)) ,t
pour tous les tempst≥ 0 et pour tous les ensembles Boreliens´ A⊂H. Il ressort de la definition´
des moyennes empiriques que s’il existe une mesureμ satisfaisant (0.5), alorsμ est une mesure
invariante. En effet, notant parχ la fonction caracteristique´ d’un ensembleA, on aA
Z Z
T1
−1μ(ϕ (A)) = χ −1 μ(du) =hχ −1 i = lim χ −1 (ϕ (u ))dss 0t ϕ (A) ϕ (A) ϕ (A)t t tT→∞H T 0
Z Z
T T+t1 1
= lim χ (ϕ (u ))ds = lim χ (ϕ (u ))ds (0.6)A t+s 0 A s 0
T→∞ T→∞T 0 T t
=hχ i =μ(A).A
On voit donc que l’etude´ des mesures invariantes d’un systeme` est primordiale dans la carac
terisation´ de son comportement asymptotique.
Il ressort de la discussion sur la dynamique du systeme` deterministe´ qu’il existe beaucoup
de mesures invariantes differentes´ pour (0.1). Il suffit de prendre par exemple une mesure de
Dirac concentree´ sur un des points fixes de l’equation.´ On peut se demander si, parmi toutes
ces mesures invariantes, il en existe une qui soit plus “naturelle” que les autres. Une maniere` de
caracteriser´ une mesure invariante naturelle est de demander qu’elle soit stable sous l’addition
d’une perturbation stochastique au systeme.` Dans le cas de certains systemes` chaotiques, les
mesures SRB (Sinai, Ruelle, Bowen) possedent` justement cette propriet´ e´ [Col98]. Il est donc
interessant´ de se demander combien de bruit il faut ajouter a` un systeme` pour qu’il ne possede`
plus qu’une seule mesure invariante.
L’avantage de considerer´ une equation´ “bruitee”´ est que, dans de nombreux cas de figure,
son comportement asymptotique est beaucoup plus simple a` decrire.´ En effet, nous verrons dans
les chapitres suivants que, memeˆ sous l’addition de “peu” de bruit, les solutions de la version
stochastique de (0.1) tendent vers une unique mesure invariante. Une question interessante´ et
qui reste ouverte est de savoir s’il existe un moyen de faire tendre le bruit vers0 qui permette de
prouver que la suite de mesures invariantes ainsi obtenue possede` une limite et pas seulement
des points d’accumulation. Cette limite serait alors un candidat naturel au titre de “mesure
SRB” pour un tel systeme.`4 INTRODUCTION
´ ` `1 Presentation du Modele et Formulation du Probleme
Dans cette section, nous allons formuler plus precis´ ement´ de quelle maniere` un terme stochas
tique est ajoute´ a` (0.1). Nous considerons´ l’equation´ donnee´ formellement par
∞X
2 3∂u =∂ u+u−u + qe∂w , u(x,0) =u (x). (1.1)t i i t i 0x
i=1
∞Dans cette equation,´ lesq sont des nombres positifs ou nuls uniformement´ bornes,´ {e} esti i i=1
2une base orthonormee´ deH qui diagonalise l’operateur´ lineaire´ ∂ et lesw sont des mouve ix
ments Browniens independants,´ de maniere` a` ce que l’expression∂w denote´ un bruit blanc.t i
Une equation´ du type (1.1) est habituellement ecrite´ sous la forme abstraite
du =Audt+F (u)dt+QdW (t) , u(0) =u . (1.2)0
2 3Ici,A denote´ l’operateur´ lineaire´ ∂ de domaineD(A),F est l’operateur´ nonlineaire´ u7→u−ux
de domaine D(F ), Q est l’operateur´ lineaire´ borne´ donne´ par Qe = qe et W denote´ uni i i
P∞processus de Wiener cylindrique surH, formellement donne´ parW (t) = e w (t). Nousi ii=1
´ ´ `designons par (Ω,F, P) l’espace de probabilite sous jacentaW .
Nous appelons solution de (1.2) un processus stochastique u(t) a` valeurs dans H tel que
u(t)∈D(F ) pourt> 0 et
Z Zt t
At A(t−s) A(t−s)u(t) =e u + e F(u(s))ds+ e QdW (s). (1.3)0
0 0
´ ´Pour une definition rigoureuse de l’integrale stochastique apparaissant dans (1.3), voir par ex
emple [DPZ92b]. Nous dirons que la solution de (1.3) definit´ un flot stochastique si les appli
cations
ϕ (·,ω) :H→Ht
u 7→u(t,ω)0
sont continues pour P presque toutω ∈ Ω. Le theor´ eme` d’existence suivant peut etreˆ deri´ ve´
facilement des resultats´ present´ es´ dans [DPZ96]:
Theor´ eme` 1 L’equation´ (1.1) possede` une unique solution qui definit´ un flot stochastiqueϕ .t
Ce theor´ eme` nous permet de definir´ , a` l’aide du flot stochastiqueϕ , une ev´ olution sur lest
observablesG, ainsi qu’une ev´ olution duale sur les mesuresμ par les formules:
(PG)(u) = E(G◦ϕ )(u) , u∈H , (1.4a)t t
∗ −1(P μ)(B) = E(μ◦ϕ )(B) , B⊂H. (1.4b)t t
Avec ces definitions,´ une mesure invariante pour le probleme` (1.2) est simplement un point fixe
∗deP . Le probleme` que nous abordons dans ce travail est l’existence et l’unicite´ d’une tellet
mesure invariante.
Dans le cadre du probleme` que nous venons de decrire,´ l’existence d’une mesure invariante
est relativement aisee´ a` obtenir. En effet, par le theor´ eme` d’e de Krylov Bogolyubov