Interpolating scaling vectors and multiwavelets in R_1hnd [Elektronische Ressource] : a multiwavelet cookery book / Karsten Koch

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RDissertationInterpolating Scaling Vectors anddMultiwavelets inA Multiwavelet Cookery BookKarsten Koch2006RInterpolating Scaling Vectors anddMultiwavelets inDissertationzurErlangung des Doktorgradesder Naturwissenschaften(Dr. rer. nat.)demFachbereich Mathematik und Informatikder Philipps–Universit¨at Marburgvorgelegt vonKarsten Kochaus Marburg/LahnMarburg/Lahn Oktober 2006Vom Fachbereich Mathematik und Informatikder Philipps–Universit¨at Marburg als Dissertationangenommen am: 08.12.2006Erstgutachter: Prof. Dr. Stephan Dahlke, Philipps–Universit¨at MarburgZweitgutachter: Prof. Dr. Peter Maaß, ZeTeM, Universit¨at BremenDrittgutachter: Prof. Dr. Gabriele Steidl, Universit¨at MannheimTag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 14.12.2006Erschienen im Logos Verlag, BerlinISBN 978-3-8325-1489-1AcknowledgementsFirst of all, I would like to express my gratitude to my referees, Prof. Dr. StephanDahlke, Prof. Dr. Peter Maaß, and Prof. Dr. Gabriele Steidl, for their willingnessto wade through this thesis which surely contains some notational obstacles andmuch to often the prefix “multi”. Moreover, Stephan did not only supervise thisthesis but also spent many hours on discussing the various problems I stumbledinto. Without him, this work would neither have attained its content nor its finalshape. Inaddition,specialthanksgotomycolleaguesattheAGNumerik/WaveletAnalysis for a very nice atmosphere and for enlightening though not necessarilymathematical discussions.

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Published 01 January 2007
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Dissertation
Interpolating Scaling Vectors and
dMultiwavelets in
A Multiwavelet Cookery Book
Karsten Koch
2006
RInterpolating Scaling Vectors and
dMultiwavelets in
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
dem
Fachbereich Mathematik und Informatik
der Philipps–Universit¨at Marburg
vorgelegt von
Karsten Koch
aus Marburg/Lahn
Marburg/Lahn Oktober 2006
RVom Fachbereich Mathematik und Informatik
der Philipps–Universit¨at Marburg als Dissertation
angenommen am: 08.12.2006
Erstgutachter: Prof. Dr. Stephan Dahlke, Philipps–Universit¨at Marburg
Zweitgutachter: Prof. Dr. Peter Maaß, ZeTeM, Universit¨at Bremen
Drittgutachter: Prof. Dr. Gabriele Steidl, Universit¨at Mannheim
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 14.12.2006
Erschienen im Logos Verlag, Berlin
ISBN 978-3-8325-1489-1Acknowledgements
First of all, I would like to express my gratitude to my referees, Prof. Dr. Stephan
Dahlke, Prof. Dr. Peter Maaß, and Prof. Dr. Gabriele Steidl, for their willingness
to wade through this thesis which surely contains some notational obstacles and
much to often the prefix “multi”. Moreover, Stephan did not only supervise this
thesis but also spent many hours on discussing the various problems I stumbled
into. Without him, this work would neither have attained its content nor its final
shape. Inaddition,specialthanksgotomycolleaguesattheAGNumerik/Wavelet
Analysis for a very nice atmosphere and for enlightening though not necessarily
mathematical discussions. In particular, I am indebted to Thorsten Raasch who
did not only play a crucial role in the beginning of my time in Marburg but has
always been inclined to share the blessings of his impressive mnemonic capability
as well. I would like to thank OStD Winfried Damm who taught me that doing
mathematics means more than just shuffling some symbols and therefore raised
my interest in mathematics. Furthermore, I want to express my gratitude to
Prof.Dr.JoachimOhserwhoencouraged meto dothisdoctorateand, bythe way,
changed my view of applied mathematics to a great extent. I also feel grateful
to the Deutsche Forschungsgemeinschaft which has supported my whole stay in
Marburg by means of the Grants Da 360/4–(1–3).
Finally, I wish to thank my parents for encouraging and supporting all my
endeavors, and last but not least, of course, my very special thanks go to Sandra
forhergreatpatienceandtheemotionalsupportwithoutwhichthisprojectwould
never have been completed.
vviZusammenfassung
Wavelets sind spezielle Basen des L ( ), die durch dyadische Dilatation und2
ganzzahlige Translation einer einzigen Funktion, des sogenannten Mutterwavelets,
entstehen. Der große Vorteil von Waveletbasen ist, dass sie eine skalenweise
Approximation von quadratintegrablen Funktionen zulassen, wobei jeder Skalen-
ub¨ ergang als Detailgewinn interpretiert werden kann. Daher haben sich Wavelets
innerhalbderletztenzweiJahrzehntezueinemwertvollenHilfsmittelsowohlinder
angewandten als auch in der reinen Mathematik entwickelt. So bilden Wavelets
beispielsweise einen festen Bestandteil des JPEG2000-Standards zur Bilddaten-
kompression,werdenabergleichzeitigauchinderApproximationstheoriezurCha-
rakterisierung verschiedener Funktionenr¨aume genutzt.
Heutzutage werden Wavelets im Allgemeinen mittels einer sogenannten Mul-
tiskalenanalyse konstruiert. Diese wiederum wird von einer einzelnen quadratin-
tegrablen Funktion erzeugt, der Skalierungsfunktion. Da nahezu s¨amtliche Eigen-
schaften eines Wavelets von diesem Generator abh¨angen, wurde und wird die
Konstruktion dieser Skalierungsfunktionen in der Literatur eingehend behandelt.
Dabei stellt sich heraus, dass das klassische Waveletkonzept einigen Beschr¨an-
kungen unterliegt. Es l¨asst sich beispielsweise zeigen, dass keine kompakt ge-
trageneinterpolierendeSkalierungsfunktionmitorthogonalenTranslatenexistiert,
welche gleichzeitig stetig ist. Diese Eigenschaften sind jedoch inbesondere fur¨ An-
wendungszwecke sehr erstrebenswert. So erlaubt die Orthogonalit¨at eines Genera-
torsdieKonstruktioneinerorthogonalenWaveletbasis,w¨ahrenddieInterpolation-
seigenschaft zu einem Shannon-artigen Abtasttheorem fuhrt,¨ welches die Berech-
nung der Waveletentwicklung einer Funktion maßgeblich erleichtert.
Ein m¨oglicher Ansatz zur Umgehung dieser Einschr¨ankungen ist der Versuch,
die obigen Forderungen etwas abzuschw¨achen. So verzichtet man h¨aufig auf Or-
thogonalit¨atzugunsteneinerschw¨acherenBiothogonalit¨atsbedingung,d.h.,anstel-
le einer orthogonalen Skalierungsfunktion betrachtet man zwei zueinander duale
Skalierungsfunktionen, welche zu biorthogonalen Waveletbasen fuhren.¨ Jedoch
birgtauchdiesesKonzepteinigeNachteile. EszeigtsichinvielenKonstruktionen,
diediesenAnsatzverfolgen,dassfur¨ gew¨ohnlichstarkeEigenschaftendesprimalen
Generators mit schwachen Eigenschaften des dualen Generators einhergehen.
vii
Rviii
Aus diesem Grund befassen wir uns in der vorliegenden Arbeit mit Multi-
wavelets, einer Verallgemeinerung des klassischen Waveletkonzeptes, welche deut-
lich mehr Spielraum zur Konstruktion ubrig¨ l¨asst. Multiwaveletbasen werden, im
Gegensatz zur ihren klassischen Verwandten, nicht nur von einem einzelnen son-
dernvonmehrerenMutterwaveletserzeugt,diefur¨ gew¨ohnlichineinemVektoran-
geordnetwerden. WieskalareWaveletswerdenauchMultiwaveletszumeistmittels
einer Multiskalenanalyse konstruiert, welche ihrerseits von einer vektorwertigen
Funktion, demSkalierungsvektor, generiertwird. UnserHauptzielindieserArbeit
istdieKonstruktionebensolcherSkalierungsvektorenundderdazugeh¨origenMul-
tiwavelets in sowohl einer, als auch in mehreren Ver¨anderlichen. Ein besonderes
AugenmerkliegtdabeiaufderKonstruktioninterpolierenderSkalierungsvektoren.
Fur¨ unserenmultivariatenAnsatzverwendenwirdasKonzeptallgemeinerSka-
lierungsmatrizen, das eine naturlic¨ he Erweiterung des klassischen dyadischen Di-
latationprinzips darstellt. Allerdings zeigt sich, dass der multivariate skalare Fall
nahezu die gleichen Einschr¨ankungen wie sein univariates Gegenstuc¨ k aufweist.
¨Aus diesem Grunde bietet sich hier ebenfalls der Ubergang zu Multiwavelets an.
Jedoch stellt die Konstruktion multivariater Multiwavelets eine gewisse Heraus-
forderung dar, da bisher, im Gegensatz zum univariaten Fall, nicht bekannt ist, ob
fur¨ jeden Skalierungsvektor ein zugeh¨origes Multiwavelet gefunden werden kann.
Alles in allem lassen sich die Ziele dieser Arbeit in den folgenden grundlegenden
Fragestellungen zusammenfassen:
(T1) Welches Potenzial steckt in dem vektorwertigen Ansatz? Lassen sich die
Beschr¨ankungen des skalaren Falles damit beheben?
(T2) Existieren Multiwavelets fur¨ jeden interpolierenden Skalierungsvektor? Gibt
es vielleicht eine Art kanonisches Multiwavelet?
(T3) Sind diese Konzepte auch in der Anwendung von Nutzen?
Nach einer kurzen Diskussion des klassischen Waveletkonzeptes in Kapitel 2
und einer Einfuhrung¨ der grundlegenden Begriffe in Kapitel 3, welches insbeson-
deredieDefinitioneinesneuartigenInterpolationsbegriffesfur¨ Skalierungsvektoren
in mehreren Ver¨anderlichen beinhaltet, wenden wir uns der Beantwortung der
obigen Fragen zu. Dafur¨ entwickeln wir in Kapitel 4 zuerst einen systematis-
chen Ansatz zur Konstruktion orthogonaler interpolierender Skalierungsvektoren
in einer Ver¨anderlichen, welche einen kompaktem Tr¨ager besitzen. Der resul-
tierende Algorithmus erlaubt nicht nur die zur Zeit fuhrenden¨ Ergebnisse aus
[109] zu reproduzieren, sondern gleichzeitig noch weitere Skalierungsvektoren zu
konstruieren, die bei ansonsten gleichen Eigenschaften eine h¨ohere Regularit¨at
aufweisen. DesWeiterendientunsdieserunivariateZugangalseineArtSchablone
fur¨ dieKonstruktionsmethodenindenfolgendenKapiteln. Soerweiternwirdiesenix
AnsatzinKapitel5zueinenAlgorithmusfur¨ dieKonstruktionkompaktgetragener
orthogonaler interpolierender Skalierungsvektoren in mehreren Ver¨anderlichen fur¨
Skalierungsmatrizen mit Determinante ±2. Neben der expliziten Konstruktion
einiger bivariater Beispiele entwickeln wir dort eine Regel, mit Hilfe derer sich
problemlos geeignete Multiwavelets angeben lassen. In Kapitel 6 untersuchen
wirdenbiorthogonalenFallunterHinzunahmeverschiedenerSymmetriebedingun-
gen. DieHauptergebnissediesesAbschnitteslassensichwiefolgtzusammenfassen.
Zuerst leiten wir einen Algorithmus zur Konstruktion biorthogonaler Paare kom-
pakt getragener symmetrischer Skalierungsvektoren in mehreren Ver¨anderlichen
her, wobei die primalen Funktionen interpolieren. Außerdem zeigen wir, dass zu
jedem dieser Paare in einer kanonischen Weise Multiwavelets konstruiert werden
k¨onnen. Abschließend geben wir einige bivariate Beispiele an. Im letzten Kapitel
dieser Arbeit untersuchen wir die Anwendbarkeit der konstruierten Multiwavelets.
Dabei beschr¨ankenwir uns auf das Gebiet der Bilddatenkompression, welcheseine
Standardanwendung fur¨ Wavelets darstellt.
Die Ergebnisse dieser Arbeit lassen sich in den folgenden Antworten auf die
Fragen (T1)–(T3) zusammenfassen:
(T1) SowohlderunivariateAnsatzinKapitel4alsauchdessenmultivariatesAnal-
ogon in Kapitel 5 fuhren¨ zu interpolierenden Skalierungsvektoren, welche
neben einem kompakten Tr¨ager auch orthogonale Translate besitzen. Ferner
sinddiemeistenderdortkonstruiertenBeispielemindestensstetigodersogar
stetig differenzierbar, was im skalaren Fall nicht erreicht werden kann. Des
Weiteren bieten die in Kapitel 6 konstruierten biorthogonalen Skalierungs-
vektoren ebenfalls einen Vorteil gegenub¨ er ihren skalaren Verwandten. So
besitzen insbesondere die dualen Skalierungsvektoren eine im Vergleich zum
skalaren Fall deutlich gesteigerte Glattheit bei ansonsten identischen Eigen-
schaften. Diese Ergebnisse zeigen, dass das Multiwaveletkonzept wesentliche
Vorteile gegenub¨ er dem skalaren Fall bietet.
(T2) Zus¨atzlich zu jedem der oben genannten Algorithmen zur Konstruktion in-
terpolierender Skalierungsvektoren entwickeln wir Methoden zur Konstruk-
tion der dazugeh¨origen Multiwavelets. Im orthogonalen Fall, d.h. in den
Kapiteln 4 und 5, besteht diese Methode aus einer einfachen Regel, die es
erlaubt, geeignete Multiwavelets sofort anzugeben. Fur¨ den allgemeineren
biorthogonalenFallleitenwirinKapitel6einVerfahrenher,welchesfur¨ jedes
Paar biorthogonaler Skalierungsvektoren mit kompaktem Tr¨ager ein Paar
zugeh¨origerkanonischerMultiwaveletsliefert,sofernderprimaleSkalierungs-
vektor unsere Interpolationsbedingung erfullt.¨
(T3) Zuerst zeigen wir in Kapitel 7, dass interpolierende Skalierungsvektoren und
die dazugeh¨origen Multiwavelets prinzipiell fur¨ die Anwendnung geeignetx
sind, da sie eine weitere wesentliche Approximationseigenschaft seitens ihrer
Filter besitzen. Außerdem weisen die in Kapitel 7 erzielten Kompression-
sergebnisse darauf hin, dass unsere Multiwavelets auch fur¨ diese spezielle
Anwendung nutzlic¨ h sind. Allerdings h¨angen die Ergebnisse der multivari-
aten Multiwavelets vom Zusammenspiel der Bild- und Waveletcharakteris-
tiken ab. Unsere univariten Multiwavelets hingegen liefern uneingeschr¨ankt
gute Resultate.