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Modeling localization and failure with high order finite elements [Elektronische Ressource] / Holger Heidkamp

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Published 01 January 2007
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Language English
Document size 3 MB

Lehrstuhl fu¨r Bauinformatik
Fakult¨at fu¨r Bauingenieur- und Vermessungswesen
Technische Universit¨at Mu¨nchen
Modeling Localization and Failure with
High-Order Finite Elements
Holger Heidkamp
Vollst¨andiger Abdruck der von der Fakult¨at fu¨r Bauingenieur- und Vermessungswesen der
Technischen Universit¨at Mu¨nchen zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktor-Ingenieurs
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Kai-Uwe Bletzinger
Pru¨fer der Dissertation:
1. Univ.-Prof. Dr.rer.nat. Ernst Rank
2. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Karl Schweizerhof,
Universit¨at Fridericiana zu Karlsruhe
Die Dissertation wurde am 11.01.2007 bei der Technischen Universit¨at Mu¨nchen eingereicht
unddurchdieFakult¨atfu¨rBauingenieur-undVermessungswesenam11.04.2007angenommen.Fu¨r Susi.Abstract
This thesis presents a consistent modeling approach to the phenomenon of deformation lo-
calization and material failure, based on high-order finite elements. With particular focus on
large scale analyses, it adopts a macroscopic perception of the failure process. Viewing the
typically small failure zones from the level of practical interest, continuous fields with a steep
gradient appear discontinuous; this constitutes the notion of strong discontinuities, i.e., jumps
in the displacement field. Accounting for the possible occurrence of strong discontinuities, the
pathological mesh sensitivity exhibited by classical continuum softening approaches is over-
come. Discontinuities are incorporated into the finite element formulation in an embedded
manner, avoiding the need of additional global degrees of freedom and thus, giving rise to
an efficient discretization and numerical treatment of the problem. As opposed to previous
concepts, the presented approach is consistently deduced regarding its possible application
in the context of high-order finite elements. Put forth by a novel reassessment of the strong
discontinuity kinematics, the extended p-adaptive formulation is established. Three dimen-
sionalnumericalinvestigationsshow, that—incontrasttocommonlyadoptedlow-orderfinite
element approximations — the proposed p-adaptive high-order approach facilitates a mini-
mization of potential locking effects while at the same time the algorithmic implementation
efficiently preserves a high degree of locality.
Zusammenfassung
DievorliegendeArbeitpr¨asentierteinenkonsistentenModellierungsansatzzudenProblemkrei-
sen Verformungslokalisierung und Materialversagen, der auf finiten Elementen hoher Ordnung
basiert. Mit besonderem Augenmerk auf Großberechnungen nimmt sie eine makroskopische
Sichtweise auf das Problem ein. Von der Ebene der Ingenieuranwendung aus betrachtet, er-
scheinen stetige Felder in den typischerweise kleinen Versagenszonen unstetig. Dieser Zusam-
menhang motiviert die Einfu¨hrung starker Diskontinuit¨aten, d.h. eines sprungstetigen Ver-
schiebungsfeldes. DieseMaßnahmeu¨berwindetdiepathologischeNetzabh¨angigkeitdesklassis-
chen kontinuumsmechanischen Ansatzes zur Simulation von Materialentfestigung. Die finite
Element Formulierung bindet die Verschiebungsdiskontinuita¨ten im Rahmen eines eingebet-
teten Ansatzes ein, wodurch zus¨atzliche Freiheitsgrade auf globaler Ebene vermieden werden;
eine effiziente Diskretisierung und numerische Behandlung des Problems wird erm¨oglicht. Ab-
weichend von bislang etablierten Verfahren, ist der pr¨asentierte Ansatz konsistent hinsichtlich
der Anwendung im Kontext finiter Elemente hoher Ordnung abgeleitet. Ausgehend von einer
neuartigen Interpretation der Kinematik sprungstetiger Verschiebungsfelder entwickelt sich
die erweitertep-adaptive Formulierung. Dreidimensionale numerische Untersuchungen zeigen,
dass der vorgeschlagene p-adaptive Ansatz hoher Ordnung — im Gegensatz zu u¨blicherweise
angewendeten Ans¨atzen im Rahmen finiter Elemente niedriger Ordnung — eine Minimierung
potenzieller Locking-Effekte erreicht, ohne dass die algorithmische Umsetzung ihren weitest-
gehend lokalen Charakter verliert.Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen meiner Forschungst¨atigkeit am Lehrstuhl fu¨r
BauinformatikderFakult¨atBauingenieur-undVermessungswesenderTechnischenUniversit¨at
Mu¨nchen im Zeitraum zwischen Februar 2003 und Dezember 2006.
Aufrichtiger Dank gilt meinem gesch¨atzten Doktorvater, Herrn Professor Dr.rer.nat. Ernst
Rank. Seine Aufgeschlossenheit hat dieses berufsbegleitende Forschungsprojekt erst erm¨og-
licht. Durchdengew¨ahrten FreiraumunddasentgegengebrachteVertrauenbeiderAusgestal-
tungdesThemashatermichnachhaltigmotiviert;seinebewundernswerteF¨ahigkeit,zielsicher
Unsch¨arfen der Argumentation zu entlarven, war grundlegend fu¨r den Erfolg der Arbeit.
¨Herrn Professor Dr.-Ing. Karl Schweizerhof danke ich ganz herzlich fu¨r die Ubernahme des
Koreferates. Sein aufrichtiges Interesse an meiner Arbeit und die aufmerksame Kritik waren
ein sehr wertvolles Feedback.
Großen Anteil an der Realisierung des Forschungsvorhabens hatte die Sofistik AG als mein
Arbeitgeber. Fu¨r ihre Unterstu¨tzung danke ich den Vorst¨anden Thomas Fink und Dr.-Ing.
Casimir Katz sowie den u¨brigen Sofistik-Kollegen; Dr.-Ing. Casimir Katz besonders auch fu¨r
die ideelle F¨orderung des Projektes von der ersten Stunde an.
Herr PD Dr.-Ing. Alexander Du¨ster war gewissermaßen der Pyrotechniker hinsichtlich meines
Interesses fu¨r die Finite Elemente p-Version. Fu¨r den Initialfunken und fu¨r die vielen Anre-
gungen und Diskussionen, durch die er mich in diesem Projekt begleitet hat, danke ich ihm
sehr.
Fu¨r die beinahe famili¨are Atmosph¨are und das freundschaftliche Miteinander am Lehrstuhl,
dassauchmiralsExternemzuteilwurde,bedankeichmichbeiallenKollegenundnichtzuletzt
bei der guten Seele des Lehrstuhls, Frau Hanne Cornils.
Eltern, Familie und Freunde waren mir eine enorme Stu¨tze und wichtige Energiequelle, gerade
in stark beanspruchenden Zeiten.
Ganzbesondersbedankenm¨ochteichmichbeimeinerFrauSusi. Durchihreuneingeschr¨ankte
Zuversicht war sie der entscheidende Ru¨ckhalt fu¨r mich — danke fu¨r diese großartige Liebe
und Geduld.
Holger Heidkamp
Juni 2007Contents
1 Introduction 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Modeling deformation localization — a review . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Objective and scope of the work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Classical continuum mechanics 11
2.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Deformation gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Stress and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Stress state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Definition of the boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 The weak form of equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Generalized variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.4 Modified three-field variational problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.5 Linearization of the modified variational problem . . . . . . . . . . . . 22
2.3.6 Eliminating the stress field from the formulation . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Continuum constitutive modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Hyperelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Flow theory of plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 The finite element method 33
3.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Transition to matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Finite element representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 High-order hierarchical ansatz spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 The one-dimensional hierarchical basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Hierarchical Ansatz space for quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Hierarchical Ansatz space for hexahedral elements . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4 Various specifications of Ansatz spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Mapping concept for high-order elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Two-dimensional blending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 Three-dimensional blending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i3.3.3 Various mapping concepts — assets and drawbacks . . . . . . . . . . . 53
3.4 Numerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1 Gauss quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Embedded strong discontinuities 59
4.1 Strong discontinuity kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Standard approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Reformulated kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 The weak and local form of the equilibrium equations . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Constitutive modeling in a strong discontinuity context . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.1 Traction-separation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.2 Correlation with strong discontinuity kinematics . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.3 Strong discontinuity condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.4 Condition of uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 A mixed finite element formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.1 Strong discontinuity kinematics and traction continuity . . . . . . . . . 72
4.4.2 Stability considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.3 Transition to an equivalent continuum formulation . . . . . . . . . . . 75
4.5 Adaptation to a high-order finite element approach . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 Generalization of the concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.2 Reassessment of the strong discontinuity kinematics . . . . . . . . . . . 83
5 A model for the simulation of brittle mode-I material failure 89
5.1 Model characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 TheRankine criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 Softening relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.3 Determining the discontinuity normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Algorithmic treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1 Computing the transmission function ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 Stress evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Algorithmic constitutive tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Fixed or rotating discontinuity? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.1 Rotating discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.2 Fixed discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.3 Hybrid approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 Numerical studies 109
6.1 Uniaxial tensile test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.1 Classical continuum approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1.2 Embedded strong discontinuity approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Notched bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Three point bending test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3.1 Simulated structural response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.2 Fixed discontinuity approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3.3 Hybrid discontinuity approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4 L-shaped panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
ii