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Modeling the thermodynamics of QCD [Elektronische Ressource] / Thomas Hell

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Modeling theThermodynamics of QCDby Thomas HellJuly, 2010Supported by the DFG Excellence Cluster \Origin and Structure of the Universe"Physik-DepartmentInstitut fur¨ Theoretische Physik T39Univ.-Prof. Dr. Wolfram WeiseModeling theThermodynamics of QCDDipl.-Phys. (Univ.) Thomas HellVollst¨andiger Abdruck der von der Fakult¨at fur¨ Physik der Technischen Universit¨at Munc¨ henzur Erlangung des akademischen Grades einesDoktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)genehmigten Dissertation.Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Reiner Kruc¨ kenPrufer¨ der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr. Wolfram Weise2. Dr. Andrzej J. BurasDie Dissertation wurde am 6.7.2010 bei der Technischen Universit¨at Munc¨ hen eingereicht unddurch die Fakult¨at fur¨ Physik am 26.7.2010 angenommen.AbstractStrongly interacting (QCD) matter is expected to exhibit a multifaceted phase structure: ahadrongasatlowtemperatures,aquark-gluonplasmaatveryhightemperatures,nuclearmatterin the low-temperature and high-density region, color superconductors at asymptotically highdensities. Most of the conjectured phases cannot yet be scrutinized by experiments. Much ofthe present picture—particularly concerning the intermediate temperature and density area ofthe phase diagram of QCD matter—is based on model calculations. Further insights come fromLattice-QCD computations.

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Published 01 January 2010
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Language English
Document size 3 MB

Modeling the
Thermodynamics of QCD
by Thomas Hell
July, 2010Supported by the DFG Excellence Cluster \Origin and Structure of the Universe"Physik-Department
Institut fur¨ Theoretische Physik T39
Univ.-Prof. Dr. Wolfram Weise
Modeling the
Thermodynamics of QCD
Dipl.-Phys. (Univ.) Thomas Hell
Vollst¨andiger Abdruck der von der Fakult¨at fur¨ Physik der Technischen Universit¨at Munc¨ hen
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Reiner Kruc¨ ken
Prufer¨ der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr. Wolfram Weise
2. Dr. Andrzej J. Buras
Die Dissertation wurde am 6.7.2010 bei der Technischen Universit¨at Munc¨ hen eingereicht und
durch die Fakult¨at fur¨ Physik am 26.7.2010 angenommen.Abstract
Strongly interacting (QCD) matter is expected to exhibit a multifaceted phase structure: a
hadrongasatlowtemperatures,aquark-gluonplasmaatveryhightemperatures,nuclearmatter
in the low-temperature and high-density region, color superconductors at asymptotically high
densities. Most of the conjectured phases cannot yet be scrutinized by experiments. Much of
the present picture—particularly concerning the intermediate temperature and density area of
the phase diagram of QCD matter—is based on model calculations. Further insights come from
Lattice-QCD computations.
The present thesis elaborates a nonlocal covariant extension of the Nambu and Jona-Lasinio
(NJL) model with built-in constraints from the running coupling of QCD at high-momentum
and instanton physics at low-momentum scales. We present this model for two and three quark
flavors (in the latter case paying particular attention to the axial anomaly).
Atfinitetemperaturesanddensities, gluondynamicsisincorporatedthroughagluonicback-
ground field, expressed in terms of the Polyakov loop (P). The thermodynamics of this nonlocal
PNJL model accounts for both chiral and deconfinement transitions. We obtain results in
mean-field approximation and beyond, including additional pionic and kaonic contributions to
the chiral condensate, the pressure and other thermodynamic quantities. Finally, the nonlocal
PNJL model is applied to the finite-density region of the QCD phase diagram; for three quark
flavorsweinvestigate, inparticular, thedependenceofthecriticalpointappearinginthemodels
on the axial anomaly. The thesis closes with a derivation of the nonlocal PNJL model from first
principles of QCD.
Zusammenfassung
Es wird vermutet, dass stark wechselwirkende (QCD) Materie in vielz¨ahligen Phasen vorkom-
men kann: Der Bereich niedriger Temperaturen ist durch ein Hadronen-Gas gegeben, das bei
hohen Temperaturen in ein Quark-Gluon-Plasma ub¨ ergehen kann; bei tiefen Temperaturen und
moderaten Dichten kondensiert Kernmaterie, und bei asymptotisch hohen Dichten entstehen
Farb-Supraleiter. Experimente k¨onnen derzeit noch nicht in alle interessanten Bereiche des
QCD-Phasendiagramms, insbesondere bei moderaten Temperaturen und Dichten, vordringen.
Deshalb beschr¨ankt sich unser gegenw¨artiges Wissen diesbezuglic¨ h vor allen Dingen auf Modell-
Rechnungen. Zus¨atzliche Informationen stammen aus Resultaten der Gitter-QCD.
Die vorliegende Arbeit pr¨asentiert eine nichtlokale kovariante Erweiterung des Nambu- und
Jona-Lasinio-(NJL-)Modells mit Beruc¨ ksichtigung einerseits der laufenden QCD-Kopplung bei
hohenEnergienundandererseitsderInstanton-PhysikimNiederenergie-Bereich. Wirentwickeln
dieses Modell fur¨ zwei und drei Quark-Flavors (im letzteren Fall untersuchen wir insbesondere
den Einfluss der axialen Anomalie).
Bei nichtverschwindenden Temperaturen und Dichten wird die Gluon-Dynamik implemen-
tiert, indem wir das nichtlokale NJL-Modell an ein gluonisches Hintergrundfeld koppeln, das
durch den Polyakov-Loop (P) ausgedruc¨ kt wird. Die Thermodynamik des daraus entstande-
nen PNJL-Modells ist in der Lage, sowohl den chiralen als auch den Farb-Deconfinement-
¨Ubergang zu beschreiben. Wir erhalten Ergebnisse in Molekularfeld-N¨aherung und erweitern
diese darub¨ erhinaus durch Einbeziehung von pionischen und kaonischen Beitr¨agen zum chi-
ralen Kondensat, zum Druck und anderen thermodynamischen Gr¨oßen. Schließlich beschreiben
wir den Phasendiagramm-Bereich nichtverschwindender Dichte mithilfe des nichtlokalen PNJL-
Modells. Fur¨ den Fall von drei Quark-Flavors untersuchen wir insbesondere den Einfluss der
axialen Anomalie auf den kritischen Punkt, der im QCD-Phasendiagramm auftritt. Die Arbeit
schließt mit einer systematischen Herleitung des nichtlokalen PNJL-Modells ausgehend von der
Lagrange-Dichte der QCD.Modeling the
Thermodynamics of QCD
Thomas HellContents
1 Introduction 5
2 Quantum Chromodynamics 9
2.1 The Eightfold Way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 QCD Lagrangian and Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Perturbative Quantum Chromodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Path-Integral Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Renormalization Group Equations and Asymptotic Freedom. . . . . . . . 14
2.4 Aspects of Nonperturbative QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Conservation Laws and PCAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 The QCD Vacuum (I): Spontaneous Breaking of Chiral Symmetry . . . . 17
2.4.3 Lattice QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Dyson-Schwinger Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Euclidean Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Dyson-Schwinger Equation for the Quark Propagator . . . . . . . . . . . 22
3 Nonlocal Nambu{Jona-Lasinio Models 25
3.1 The Local Nambu–Jona-Lasinio Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Nonlocal Nam Model for Two Flavors . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 The Nonlocal Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.3 Fixing the DistributionC(p): Politzer’s Quark Self-Energy . . . . . . . . . 33
3.2.4 Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Three-Flavor Nonlocal NJL Model: Role of Strangeness and Axial Anomaly . . . 36
3.3.1 The QCD Vacuum (II): Axial Anomaly and Instantons . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Three-Flavor Nonlocal Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Gap Equation and Meson Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Chiral Low-Energy Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.5 Parameters and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Comparison of the Two- and Three-Flavor Results . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Overview of QCD Thermodynamics and QCD Phase Diagram 51
4.1 The Phase Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Experimental Status . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Lattice-QCD Calculations at Finite Temperature and Density . . . . . . . . . . . 56
4.3.1 Lattice Methodology at Finite Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2 Recent Lattice-QCD Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Model Predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
34 Contents
5 Polyakov-Loop-Extended Nonlocal NJL Models 65
5.1 Thermodynamics of QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Polyakov Loop and Confinement-Deconfinement Transition . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 Polyakov Loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 The Effective Polyakov-Fukushima Potential . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Nonlocal Polyakov-Loop-Extended NJL Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 Coupling of the Polyakov Loop to the Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.2 The Two-Flavor Nonlocal PNJL Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.3 Three-Flavor Nonlocal PNJL Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Three-Flavor Nonlocal PNJL Model at Finite Density and QCD Phase Diagram 87
5.4.1 QCD Phase Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.2 Pressure at Finite Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4.3 Discussion of the Three-Flavor PNJL Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 QCD Foundations of the Nonlocal PNJL Model 91
6.1 Cho-Faddeev-Niemi-Shabanov Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1.1 Construction of the Color Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.2 Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.3 Transformation Properties of V (x) and X (x) . . . . . . . . . . . . . . . 94µ µ
6.1.4 Physical Relevance of the CFNS Decomposition and Wilson Loop . . . . 95
6.1.5 Reduction Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2 Derivation of the Nonlocal PNJL Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.1 Weiss Potential and Renormalization Group Equation . . . . . . . . . . . 102
6.2.2 Derivation of the Nonlocal PNJL Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7 Discussion and Conclusion 109
7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A Notations and Conventions 113
A.1 Isospin Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.2 Gell-Mann Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.3 Euclidean Dirac Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B Derivation of the ’t Hooft Interaction 117
bosC Taylor Expansion of the Euclidean Action S 119E
C.1 Functional Derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
C.2 Second-Order Contributions to the Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
C.3 Evaluation of Quark Loop Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
D Derivation of the Pseudoscalar Meson Decay Constants 125
E Haar Measure in SU(N) 131