Numerical simulation of binary black hole spacetimes and a novel approach to outer boundary conditions [Elektronische Ressource] / Jennifer Seiler
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Numerical Simulation of Binary Black Hole Spacetimes and aNovel Approach to Outer Boundary ConditionsVon der Fakultät für Mathematik und Physikder Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannoverzur Erlangung des GradesDoktorin der Naturwissenschaften– Dr. rer. nat. –genehmigte DissertationvonJennifer Seilergeboren am 5. Mai, 1983 in Washington, DC, USA• 2010Referent: Prof. Bernard Schutz, Institut für GravitationsphysikKoreferent: Prof. Jeffrey Winicour, University of PittsburghTag der Promotion: 5. Februar, 20102Dedicated to Thomas Radke.He had a rare combination of brilliance, character, and humility. Both thescientific community and society are handicapped by his loss.34AbstractWith ground-based gravitational wave detectors at design sensitivity, and a space-based detector in planning stages, the need for accurate gravitational wave templates forsignal recognition by detector pipelines has become an urgent problem. With that in mind,and the fact that binary black hole inspirals and mergers are the strongest potential sourcefor gravitational wave signals for online detectors, my research has focused on improvingthe accuracy and well-posedness of numerical simulations, and on the generation of grav-itational waveforms from numerical simulations both for detector template generation andfor astrophysical predictions.

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Published 01 January 2010
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Language English
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Numerical Simulation of Binary Black Hole Spacetimes and a
Novel Approach to Outer Boundary Conditions
Von der Fakultät für Mathematik und Physik
der Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktorin der Naturwissenschaften
– Dr. rer. nat. –
genehmigte Dissertation
von
Jennifer Seiler
geboren am 5. Mai, 1983 in Washington, DC, USA

2010Referent: Prof. Bernard Schutz, Institut für Gravitationsphysik
Koreferent: Prof. Jeffrey Winicour, University of Pittsburgh
Tag der Promotion: 5. Februar, 2010
2Dedicated to Thomas Radke.
He had a rare combination of brilliance, character, and humility. Both the
scientific community and society are handicapped by his loss.
34Abstract
With ground-based gravitational wave detectors at design sensitivity, and a space-
based detector in planning stages, the need for accurate gravitational wave templates for
signal recognition by detector pipelines has become an urgent problem. With that in mind,
and the fact that binary black hole inspirals and mergers are the strongest potential source
for gravitational wave signals for online detectors, my research has focused on improving
the accuracy and well-posedness of numerical simulations, and on the generation of grav-
itational waveforms from numerical simulations both for detector template generation and
for astrophysical predictions.
For simulations of highly dynamical relativistic vacuum space-times I derived accu-
rate and well-posed formulations of the Einstein equations for numerical evolutions. I
herein propose a set of well-posed, constraint-preserving boundary conditions for artifi-
cial boundaries for a first order in time and second order in space ‘generalized harmonic’
formulation of the Einstein equations. I tested these conditions both for black hole space-
times and for a series of robust stability tests, and show that these conditions reduce noise,
reduce constraint violation, and increase stability for relativistic simulations. Addition-
ally, I propose novel, well-posed, constraint-preserving boundary conditions for the more
commonly used BSSN evolution system for standard “1+log” and Gamma-driver gauge
conditions.
I carried out numerical evolutions of symmetric and asymmetric binary black hole
mergers in large numbers to explore the parameter space of binary black hole inspirals and
derive a statistical and phenomenological view of the physical qualities of binary merger
remnants. I ran binary black hole inspiral simulations using both quasi-circular and post-
Newtonian derived initial orbital binary inspiral parameters, and “puncture” initial data,
and extracted physics from a number of initial data sequences in order to establish bounds
on phenomenological formulae for the final spin and recoil velocity of merged black holes
from arbitrary initial data parameters.
With the data from those parameter studies we focus on gravitational-wave emission
to quantify how much spin effects contribute to the signal-to-noise ratio and to the relative
event rates for the representative ranges in masses and detectors. I show that equal-spin
binaries with maximum spin aligned with the orbital angular momentum are more than
“three times as loud” as the corresponding binaries with anti-aligned spins. Finally, we
derive a simple expression for the energy radiated in gravitational waves and find that the
binaries have efficienciesE /M between3.6% and10%.rad
Finally, I present an analytical inspiral-merger-ringdown gravitational waveforms
from black-hole (BH) binaries with non-precessing spins by matching a post-Newtonian
description of the inspiral to our numerical calculations, we obtain a waveform family
with a conveniently small number of physical parameters. These waveforms will allow
us to detect a larger parameter space of BH binary coalescence, to explore various sci-
entific questions related to GW astronomy, and could dramatically improve the expected
detection rates of GW detectors.
Keywords: boundary conditions, binary black holes, numerical relativity
56Zusammenfassung
Da heutige erdgebundene Gravitationswellendetektoren ihre Designsensitivität erre-
icht haben und weltraumgestützte Detektoren in der Planungsphase sind, ist es notwendig,
genaue Gravitationswellenschablonen zwecks Signalerkennung in den Detektor-Pipelines
zur Verfügung zu haben. Mit dieser Problemstellung im Hinterkopf, und der Tatsache,
daß binäre Schwarzlochverschmelzungsprozesse potentiell die stärksten Quellen gravi-
tativer Strahlung für derzeit operierende Detektoren darstellt, hat sich meine Forschung
dadrauf konzentriert, die Genauigkeit und korrekte Stellung numerischer Simulationen zu
verbessern, sowie gravitative Wellenformen durch numerische Simulationen für Detek-
torschablonenerzeugung und astrophysikalische Vorhersagen zu berechnen.
Für Simulationen hochdynamischer, relativistischer Vakuumraumzeiten habe ich
genaue und korrekt gestellte Formulierungen der Einsteingleichungen für numerische
Evolutionen hergeleitet. Hierbei entwerfe ich einen Satz korrekt gestellter, zwangs-
bedingungserfüllender Randbedingungen für künstliche Ränder und für eine “general-
isierte harmonische” Formulierung der Einsteingleichungen erster Ordnung in der Zeit
und zweiter Ordung im Raum. Verschiedene Tests an Schwarzlochraumzeiten und Sta-
bilitätstests zeigen, daß diese Bedingungen numerisches Rauschen und Verletzungen der
Zwangsbedingungen reduzieren, sowie die Stabilität erhöhen. Desweiteren entwickele ich
neue korrekt gestellte, zwangbedingungserfüllende Randbedingungen für das weitverbre-
itete BSSN Evolutionssystem mit der “1+log” Gamma-Treiber Eichbedingung.
Ich habe eine große Anzahl numerischer Evolutionen symmetrischer und asym-
metrischer Schwarzlochverschmelzungen durchgeführt, um den Parameterraum zu un-
tersuchen, und um eine statistische und phänomenologische Ansicht physikalischer
Größen des verschmolzenen schwarzen Loches zu erhalten. Ich habe Simulationen
von Binärsystemen mit quasi-zirkulären und post-Newtonisch abgeleiteten orbitalen
Punktions-Anfangsparametern durchgeführt, und habe phänomenologische Formeln für
den finalen Spin und Rückstoß des verschmolzenen schwarzen Loches für beliebige An-
fangsdaten bestimmt.
Desweiteren habe ich mich mit den Daten dieser Parameterstudien auf deren grav-
itative Wellenemission konzentriert, um den Effekt von Spin auf das Signal-zu-Rausch
Verhältnis und relativen Ereignisraten für verschiedene Massen und Detektoren zu bes-
timmen. Ich zeige, daß Binärsysteme mit gleichem und maximal ausgerichteten Spin
mehr als dreimal “lauter” sind, als entsprechende Systeme mit anti-ausgerichtetem Spin.
Zudem leite ich einen einfachen Ausdruck für die abgestrahlte Energie in Gravitation-
swellen her, und zeige, daß eine Effizienz zwischen 3.6% und 10% inE /M erreichtrad
werden kann.
Zuletzt präsentiere ich eine Familie analytischer und vollständiger Wellenformen für
Binärsysteme mit nicht-präzedierendem Spin, die mit einem hinreichend kleinen Satz
an freien physikalischen Parametern auskommt. Um dies zu erreichen, habe ich post-
Newtonische Wellenformen an numerisch berechnete angepasst. Diese Wellenformen
werden es ermöglichen, einen großen Bereich des Schwarzloch-Parameterraums aufzus-
pühren, verschiedene Aspekte der Gravitationswellenastronomie zu beantworten, und die
Detektionsraten erheblich zu verbessern.
Schlagworte: Randbedingungen, Schwarzlochverschmelzungen, Numerisches Relitivität
iiiContents
Acknowledgments ix
List of Figures xi
List of Tables xxvi
1 Introduction 1
2 Background 5
2.1 General Relativity and Gravitational Waves . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Numerical Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Decomposing the Einstein Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 The ADM decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 The BSSNOK Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 The Harmonic Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Initial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Time Symmetric Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 Brill-Lindquist Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3 Excision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Punctures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iii2.5 Numerical Methods and Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1 The Finite Difference Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 Method of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3 Numerical Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Simulation Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.1 Apparent Horizon Finder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Isolated Horizon Finder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.3 Gravitational Wave Extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.4 Proving Well-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.5 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Running Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.1 Cactus and Carpet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 Outline of Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8.1 Units and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Boundary conditions 55
3.1 Boundaries for the Harmonic Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.2 Finite Differencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Summation By Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4 Well-posed Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.5 Constraint-Preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.6 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
iv