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On the interplay between the Tits boundary and the interior of Hadamard spaces [Elektronische Ressource] / von Andreas Balser

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On the Interplay betweenthe Tits Boundary andthe Interior of HadamardSpacesDissertation an der Fakult¨atfur¨ Mathematik, Informatik und Statistikder Ludwig–Maximilians–Universit¨atMunc¨ henVorgelegt am 4. Oktober 2006 vonAndreas BalserErstgutachter Prof. Bernhard Leeb, Ph.D.Zweitgutachter Prof. Dr. Viktor Schroeder(Universit¨at Zuric¨ h, Schweiz)Tag der mundlic¨ hen Prufung¨ 25. Oktober 2006Contents iiiContentsContents iiiDeutsche Zusammenfassung 1Introduction 7I Preliminaries 13I.1 Hadamard spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.1 Angles, spaces of directions, and Tits distance . . . . . 14I.1.2 Strong asymptote classes and holonomy. . . . . . . . . 15I.2 Euclidean buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.3 The geometry of spaces modeled on A . . . . . . . . . . . . . 172I.3.1 The spherical building structure of ∂ X . . . . . . . . 17TI.3.2 Holonomy in spaces modeled on A . . . . . . . . . . . 172I.3.3 The space M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18KI.4 Ultralimits and ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.4.1 Ultralimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.4.2 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.5 Convexity is a local property in CAT(0)-spaces. . . . . . . . . 20II Polygons with prescribed Gauß map 23II.1 Weighted configurations at infinity . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2 Asymptotic tubes . . . . . . . . . . . . . . .

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Published 01 January 2006
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Language English
On the Interplay between the Tits Boundary and the Interior of Hadamard Spaces
DissertationanderFakulta¨t fu¨rMathematik,InformatikundStatistik derLudwigMaximiliansUniversita¨t Mu¨nchen
Vorgelegt am 4. Oktober 2006 von
Andreas Balser
Erstgutachter Zweitgutachter
Tagdermu¨ndlichenPru¨fung
Prof. Bernhard Leeb, Ph.D. Prof. Dr. Viktor Schroeder (Universita¨tZu¨rich,Schweiz)
25. Oktober 2006
Contents
Contents
I
II
Contents
Deutsche
Zusammenfassung
Introduction
Preliminaries I.1 Hadamard spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.1 Angles, spaces of directions, and Tits distance I.1.2 Strong asymptote classes and holonomy . . . . I.2 Euclidean buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 The geometry of spaces modeled onA2. . . . . . . . I.3.1 The spherical building structure ofTX. . . I.3.2 Holonomy in spaces modeled onA2. . . . . . I.3.3 The spaceMK. . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Ultralimits and ultraproducts . . . . . . . . . . . . . I.4.1 Ultralimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2 Ultraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Convexity is a local property in CAT(0)-spaces . . . .
Polygons with prescribed Gauß map II.1 Weighted configurations at infinity . . . . . . . II.2 Asymptotic tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.1 Asymptotic tubes in Euclidean buildings II.3 Projecting rays to subspaces . . . . . . . . . . . II.4 Persistence of semistability . . . . . . . . . . . . II.5 Existence of Polygons . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Relations to Algebra . . . . . . . . . . . . . . .
III Convex rank 1 subsets of Euclidean III.1 Remarks on Busemann functions .
buildings . . . . . .
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III.2 III.3
III.4 III.5
Geometry of buildings of typeA2 Necessary conditions: S-sets . . III.3.1 Notation . . . . . . . . . III.3.2 Existence of tripods . . . III.3.3 S-sets with 4 points . . . III.3.4 S-sets and trees . . . . . Thickening tripods . . . . . . . Existence of convex rank 1-sets III.5.1 Setting . . . . . . . . . . III.5.2 The proof of Theorem 2
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Convex rank 1 subsets ofSL(3K)/SO(3K) IV.1 The Tits boundary ofKH2MK. . . . . IV.2 Normalizing triples of Weyl chambers . . . IV.3 Proof of Theorem 3 . . . . . . . . . . . . . IV.4 Deducing Theorem 4 from Theorem 3 . . .
Bibliography
Lebenslauf
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Deutsche Zusammenfassung
Deutsche
Zusammenfassung
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IndieserArbeitgehtesumnicht-positivgekr¨ummtemetrischeRa¨ume;wir untersuchen einige Aspekte des Zusammenspiels zwischen dem Rand im Un-endlichenunddemInnerenvonsolchenR¨aumen. EinHadamard-Raum(auchCAT(0)-Raumoderhc-topisinermtumr¨ekvgti metrischer Raum)XmaeRemjuih,cdrnertsierdeesmndigst¨avollteinsi Punktepaardurcheinek¨urzesteKurvemiteinanderverbundenwerdenkann, derenL¨angederAbstandderbeidenPunkteist;außerdemmussXden Dreiecksvergleicherfu¨llen:F¨urjedesTripelvonPunkteninXenno¨knwir daseuklidische Vergleichsdreieck Esin der euklidischen Ebene betrachten: istdurchdieBedingungbestimmt,dassesdiegleichenSeitenla¨ngenhatwie das Dreieck inX. Jetzt fordern wir, dass jedes Dreieck inXd¨unnerals sein Vergleichsdreieck ist. Jeder Hadamard-Raum hat einenRand im Unendlichen(auchTits-Rand ¨ genannt): Er besteht aus Aquivalenzklassen von Strahlen: Zwei Strahlen sind asymptotischzueinander,wennsienurbeschr¨ankten(Hausdor-)Abstand haben.Dienatu¨rlicheMetrikaufdiesemRandXoderTXist dieTits WinkelmetrikT its,z¨beliugdechrTXCnie1(TAaR-)rd(wumwir¨ubiedere Dreiecksvergleich definiert, aber jetzt liegen die Vergleichsdreiecke in der run-denSph¨are). WichtigeBeispielefu¨rHadamard-Ra¨umesindsymmetrisch R¨ e aume von nicht-kompaktem Typ, und ihr diskretes Analogon,idilehcs¨beGeduauke. Eine der vielen geometrischen Gemeinsamkeiten ist, dass der Rand im Unendlichen die Struktur eineshpseac¨sdeuhaG¨nbiera¨tgrt.
InKapitelIerl¨auternwirgrundlegendeTatsachenu¨berHadamard-Ra¨u-meundeuklidischeGeb¨aude,diefu¨runsereBeweiseben¨otigtwerden. InPropositionI.5.1zeigenwir,dassf¨ureinezusammenha¨ngende,ab-geschlossene TeilmengeCelakolenineeiadsHaramRad-semuvnoKtixeeta¨ Eigenschaft ist. Dieses Ergebnis erinnert an das Theorem von Hadamard-Cartan; es ist aber keine unmittelbare Konsequenz, weil wir a priori noch nicht wissen, obCegniecsita¨doaumiherRst. Wir werden diese Proposition (in Kapitel III) verwenden, um die Kon-
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Deutsche Zusammenfassung
vexit¨atderVereinigungvon(geeigneten)konvexenMengenzuzeigen.
KapitelIIenth¨altdieErgebnisseaus[Bals06]:WirordneneinemPoly-gon in einem Hadamard-Raum eine Menge von gewichteten Konfigurationen auf seinem asymptotischen Rand zu (wir nennen diese ZuordnungGauß-Abbildungheie;sunldbiAbernwirdieSichtweIg.I)1J.tetza¨dnuesirfdnnega: Gegeben eine gewichtete Konfiguration auf dem asymptotischen Rand eines Hadamard-Raumes,(wie)k¨onnenwirentscheiden,obsiezueinemPolygon geh¨ort?LiegtdiesnuranderGeometriedesTits-Randes? Aus der geometrischen Invariantentheorie gibt es den Begriff der (Semi-) Stabilita¨teinerKonguration(sieheAbschnittII.1). Wirbeantwortendieerla¨uterteFrage,indemwireinResultatvonKa-povich, Leeb und Millson aus [KLM04c] verallgemeinern:
Theorem 1.SeiXundGeb¨audedisihcseeniuelkceine semi-stabile ge-wichtete Konfiguration auf seinem Rand im Unendlichen, oder seiXein lokalkompakter Hadamard-Raum undceine stabile gewichtete Konfiguration aufseinemRandimUnendlichen.Dannhatdiezugeho¨rigeschwacheKon-traktionΦc gibt es ein Polygon Insbesondereeinen Fixpunkt.pinX, so dasscGeua-ßbAeni¨urbildungfpist.
InKorollarII.5.3ndetsicheineetwasallgemeinereAussagef¨urHada-mard-R¨aume.1 AlsunmittelbareKonsequenzk¨onnenwirgewichteteKongurationen,die alsGauß-AbbildungenineuklidischenGeb¨audenundsymmetrischenR¨au-men auftreten, klassifizieren:
Korollar.SeiXein symmetrischer Raum nicht-kompakten Typs oder ein euklidischesGeba¨ude,undseiceine gewichtete Konfiguration auf seinem Rand im Unendlichen. Dann gibt es ein Polygon, das diese Konfiguration als Gauß-Abbildung hat,genaudannwenndieKongurationsemi-stabilimGeb¨aude-Fallund “nice semistable” im symmetrischen Raum-Fall ist.
DieNotwendigkeitderSemistabilit¨at,undTheorem1unddasKorollarim Fall, wennXein symmetrischer Raum oder ein lokalkompaktes euklidisches Geb¨audeist,wurdenin[KLM04a],[KLM04c]gezeigt.Wirerweiternihre Ergebnisse durch die Verwendung von geeigneten Ultra-Limiten.
1ieDie,deeIdaegarFesniemegllHadaf¨ur-R¨amarduutnmuzehcnereusnidtne,nats Diskussionen mit Vitali Kapovich und Viktor Schroeder auf einer Konferenz in Munster ¨ 2004.
Deutsche Zusammenfassung
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ImdrittenundviertenKapiteldiskutierenwireineFrage¨ahnlicherNatur, bei der es um konvexe Teilmengen geht: Welche (abgeschlossenen)π-kon-vexen Teilmengen vonTXitcspmotasysnelakonvinerandeherRnexenn¨ok Teilmenge vonXauftreten? Das ist wieder eine Frage der Art, inwiefern sich eine bekannte Implika-tionumdrehenla¨sst:JedekonvexeTeilmengeeinesHadamard-RaumesX induziert eineπ-konvexe Teilmenge vonTX. Die untersuchte Frage wird zum Beispiel aus der Arbeit [KL06] motiviert, in der Bruce Kleiner und Bernhard Leeb klassifizieren, welche konvexen Teil-mengen vonTXals asymptotischer Rand einer konvexen TeilmengeCvon Xauftreten, wobeiCinvariant unter einer Gruppe von Isometrien des sym-metrischen RaumesXist, die kokompakt aufCoperiert. WennTXdnu,tenips¨hraischesGeb¨audeisCeineπ-konvexe Teilmenge vonTXdannhatDrmiedno¨hneistensochsist,zweiCein Zentrum oder ist einUntergeb¨aude([BL05]). Bei den Teilmengen vonTX0fd-snuaiwurknnehr¨abescealonsienim Untergeba¨ude;d.h.wirbetrachtenTeilmengenATX,sodassru¨fedejs Paarη ξAgilt:T(η ξ)π. Eine TeilmengeCeines Hadamard-RaumsXist einekonvexe Rang 1-Teilmenge wenn sie abgeschlossen und konvex ist, und ihr asymptotischer RandTCie0nalonUnesim-dsienvedunogreta¨beTXist (siehe Def. III.3.1). Wirwerdenfeststellen,dassesfu¨rjedesTripelη1 η2 η3von Punkten ausAgeben muss; d.h., es ist notwendig, dass es Lin-ein ideales Dreieck ienli,jX i j∈ {123}gibt, die die Randpunkteηiundηjmiteinander verbinden, und die paarweise stark asymptotisch sind (im gemeinsamen End-punkt). Formal gesprochen ist es notwendig, dass dieonomHollibbA-eignud desTripelseinenFixpunkthat.InAbschnittI.1.2wirdHolonomiena¨her erla¨utert. Die Idee, diese Frage zu untersuchen und mit Holonomie zu argumen-tieren,stammtvonBruceKleinerundBernhardLeeb,diediem¨oglichen R¨andervonkonvexenRang1-TeilmengenvonRH2×RH2klassifizieren konnen. ¨ Diese Frage hat auch Bezug zu der Arbeit [HLS00] von Hummel, Lang und Schroeder: Sie zeigen, dass in einem CAT(1)-Raumdikenoevex¨Hluel von endlich vielen abgeschlossenen konvexen Mengen in einer (endlichen) Tubenumgebung ihrer Vereinigung liegt. InKapitelIIIuntersuchenwir,inwieweitmandiesfu¨reuklidischeGeba¨u-de vom TypA2verallgemeinern kann, wobei die Ausgangsmengen Tripoden sind (siehe Proposition III.3.4). (Man beachte, dass in einem CAT(1)-Raum jede Teilmenge des asymptotischen Randes ein 0-dimensionales Un-tergeb¨audeist.)
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Deutsche Zusammenfassung
Wir erhalten notwendige und hinreichende Bedingungen, wann ein 0-dimensionalesUntergeb¨audevonTXim asymptotischen Rand einer kon-vexen Rang 1-Teilmenge liegt:
Theorem 2.SeiX¨buaedovTmpyeeGsehcsidilkueniA2, und seiATX einendliches0-dimensionalesUntergeba¨udeseinesRandes.Danngibtes eine konvexe Rang 1-TeilmengeCXmitTCAgenau dann, wenn es zu jedem Tripel von Punkten ausA Wennein ideales Dreieck gibt.Aunendlich ist, gilt die Behauptung unter einer weiteren notwendigen Voraussetzung (A muss “gut” sein, siehe Definition III.3.5).
InKapitelIVbeantwortenwirdiegleicheFragef¨urdensymmetrischen RaumSL(3R)/SO(3R) (der auch vom TypA2ist): In unserer Notation istSO(nC) :=SU(n), und die reelle und komplexe hyperbolische Ebene wird mitRH2CH2bezeichnet. Zuna¨chstuntersuchenwirTripelvonRandpunktenundzeigengleichzeitig fu¨rMK:=SL(3K)/SO(3K),K∈ {RC}:
Theorem 3.SeiCeine konvexe Rang 1-Teilmenge vonMKmitK∈ {RC}, undηiTCr¨u(fi∈ {123} gibt es eine isometrische Einbettung). Dann (bis auf Reskalierung) vonKH2,MK, so dassηiTKH2llfr¨aueigilt.
F¨urK=R1-ngRaKlassikolgendenokvnxenetaoivnnoseidfruz¨ftrhu Teilmengen vonMR:
Theorem 4.SeiCeine konvexe Rang 1-Teilmenge vonMR. Dann gilt TCTRH2nbEituetvongnetenmosiirteehcsf¨ureingeeigRH2,MR (bis auf Reskalierung).
ObwohlwirTheorem3gleichzeitigf¨urRundCtuztznnen,beneigenk¨o unser Beweis von Theorem 4 ganz explizit die Geometrie vonRP2l¨as,undts sich nicht unmittelbar verallgemeinern. Das Hauptproblem bei der Verallgemeinerung istnicht, dassMCaußer CH2auch isometrische Kopien vonRH3eh¨ntt.alsPDablromeilgevteimlher darin,dasssichdieRa¨ndervonverschiedenenKopienvonCH2auf kom-pliziertereArtenschneidenk¨onnen,alsdiesf¨urRder Fall ist. Dennoch formulieren wir aufgrund unserer Ergebnisse die folgende Ver-mutung:
Vermutung 5.SeiCeine konvexe Rang 1-Teilmenge des symmetrischen RaumesX gibt es einen symmetrischen Dann(von nicht-kompaktem Typ). UnterraumYXvon Rang 1, so dassTCTYgilt.
Deutsche Zusammenfassung
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Fu¨reuklidischeGeb¨audeistesnichtsoleicht,eineVermutungfu¨rden allgemeinen Fall zu formulieren: Zuna¨chstistesso,dassman,wennmanTheorem4kenntundversucht, Theorem2zuerraten,vermutenw¨urde,dasseineingebetteterBaumex-istieren muss. Dies stellt sich als falsch heraus (aber ein Baum spielt dennoch eine wichtige Rolle, siehe Abschnitt III.3.4). F¨urdiedreianderen2-dimensionalenCoxeter-Komplexe(B2 G2und A1×A1 Gegensatz zu Im) ist die Situation grundlegend anders:A2(wo jede Holonomie-Abbildung orientierungserhaltend ist), ist die Holonomie-Abbildung eines Paares antipodaler Punkte orientierungsumkehrend. IndiesenF¨allenistdieFragenachderExistenzvonTripodenessen-tiell:Wennmanzeigenk¨onnte,dassTripodenexistieren(wieinProposition III.3.4),w¨urdedieangesprochenOrientierungsumkehrungderHolonomieso-fort zeigen, dass ein eingebetteter Baum existieren muss.