Optimal portfolios for executive stockholders [Elektronische Ressource] / Sascha Desmettre

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Fachbereich MathematikOptimal Portfolios for ExecutiveStockholdersSascha DesmettreVom Fachbereich Mathematik der Technischen UniversitätKaiserslautern zur Verleihung des akademischen Grades Doktorder Naturwissenschaften (Doctor rerum naturalium, Dr.rer.nat)genehmigte Dissertation1. Gutachter: Prof. Dr. Ralf Korn2. Gutachter: Prof. Dr. Alexander SzimayerDatum der Disputation: 20. September 2010D 386"If you have a great manager,you want to pay him very well."Buffett, Warren (2004).CONTENTS iContentsList of Figures iiiDanksagung vZusammenfassung 1Abstract 2Introduction 31 The Unconstrained Executive with Constant Relative RiskAversion 91.1 Notation and Set-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Restating the Set-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Optimal Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1 Hamilton-Jacobi-Bellman Equation . . . . . . . . . . . 231.2.2 Closed-Form Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.3 Verication Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3 Discussion and Implications of Results . . . . . . . . . . . . . 331.3.1 The Log-Utility Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.2 The Power-Utility Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 The Unconstrained Executive with Constant Absolute RiskAversion 502.1 The Set-up and its Reformulation . . . . . . . . . . . . . . .

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Published 01 January 2010
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Fachbereich Mathematik
Optimal Portfolios for Executive
Stockholders
Sascha Desmettre
Vom Fachbereich Mathematik der Technischen Universität
Kaiserslautern zur Verleihung des akademischen Grades Doktor
der Naturwissenschaften (Doctor rerum naturalium, Dr.rer.nat)
genehmigte Dissertation
1. Gutachter: Prof. Dr. Ralf Korn
2. Gutachter: Prof. Dr. Alexander Szimayer
Datum der Disputation: 20. September 2010
D 386"If you have a great manager,
you want to pay him very well."
Buffett, Warren (2004).CONTENTS i
Contents
List of Figures iii
Danksagung v
Zusammenfassung 1
Abstract 2
Introduction 3
1 The Unconstrained Executive with Constant Relative Risk
Aversion 9
1.1 Notation and Set-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Restating the Set-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Optimal Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Hamilton-Jacobi-Bellman Equation . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Closed-Form Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Verification Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Discussion and Implications of Results . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1 The Log-Utility Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 The Power-Utility Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 The Unconstrained Executive with Constant Absolute Risk
Aversion 50
2.1 The Set-up and its Reformulation . . . . . . . . . . . . . . . . 51ii CONTENTS
2.2 Optimal Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1 Hamilton-Jacobi-Bellman Equation . . . . . . . . . . . 57
2.2.2 Closed-Form Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.3 Verification Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Discussion and Implications of Results . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 The Occupational Choice 77
3.1 Notation and Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1 Financial Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.2 Controls and Wealth Process. . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.3 Stochastic Control Problem . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.4 Outside Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2 Optimal Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1 Hamilton-Jacobi-Bellman Equation . . . . . . . . . . . 82
3.2.2 Closed-Form Solution for the Log-Utility Case . . . . . 84
3.2.3 Participation Constraint for the Log-Utility Case . . . 91
3.2.4 Closed-Form Solution for the Power-Utility Case . . . . 93
3.3 Discussion and Implications of Results . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.1 Optimal Work Effort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3.2 Participation Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.3 Work Effort/Consumption Allocation . . . . . . . . . . 108
3.4 Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Conclusion and Outlook for Future Research 118
Appendix 122
A Generalized Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Bibliography 124
Wissenschaftlicher Werdegang 128
Scientific Background 129LIST OF FIGURES iii
List of Figures
⋆1.1 The log-utility executive’s optimal work effort λ w.r.t. work
productivity 1/κ˜ and disutility stress α . . . . . . . . . . . . . 43
1.2 The log-utility executive’s fair up-front compensation Δv
w.r.t. work productivity 1/κ˜ and disutility stress α . . . . . . 44
⋆1.3 The power-utility executive’s optimal work effort λ w.r.t.
time t and risk aversion γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
⋆1.4 The power-utility executive’s optimal work effort λ w.r.t.
time t and work productivity 1/κ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . 46
⋆1.5 The power-utility executive’s optimal work effort λ w.r.t.
time t and varying disutility stress α . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 The power-utility executive’s fair up-front compensation Δv
w.r.t. work productivity 1/κ˜ and risk aversion γ . . . . . . . . 48
1.7 The power-utility executive’s fair up-front compensation Δv
w.r.t. risk aversion γ and disutility stress α . . . . . . . . . . . 49
⋆2.1 The exponential-utility executive’s optimal work effort λ
w.r.t. time t and work productivity 1/κ˜ . . . . . . . . . . . . . 73
⋆2.2 The exponential-utility executive’s optimal work effort λ
w.r.t. time t and varying disutility stress α . . . . . . . . . . . 74
2.3 The exponential-utility executive’s fair up-front compensation
Δv w.r.t. work productivity 1/κ˜ and risk aversion η . . . . . . 75
2.4 The exponential-utility executive’s fair up-front compensation
Δv w.r.t. risk aversion η and disutility stress α . . . . . . . . 76iv LIST OF FIGURES
⋆3.1 The log-utility individual’s optimal work effort λ w.r.t. work
productivity 1/κ˜ and time t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
⋆3.2 The log-utility individual’s optimal work effort λ w.r.t. disu-
tility stress α and time t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
⋆3.3 The log-utility individual’s optimal work effort λ w.r.t. the
time preference of consumption ρ and time t . . . . . . . . . . 112
⋆3.4 The log-utility individual’s optimal work effort λ w.r.t. the
time preference of disutility ρ˜and time t . . . . . . . . . . . . 113
⋆3.5 The log-utility individual’s minimal required salary rate δ
w.r.t. disutility stress α and work productivity 1/κ˜ . . . . . . 114
⋆3.6 The log-utility individual’s minimal required salary rate δ
w.r.t. the time preferences ρ and ρ˜ . . . . . . . . . . . . . . . 115
⋆3.7 Thelog-utilityindividual’s optimalconsumptionratek w.r.t.
the time preference ρ of consumption and time t . . . . . . . . 116
3.8 Thelog-utilityindividual’seffort-consumptionevaluationover
time t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117DANKSAGUNG v
Danksagung
Zuerst möchte ich mich bei Prof. Ralf Korn für die Möglichkeit bedanken,
unter seiner Betreuung zu promovieren. Gespräche mit ihm waren immer
inspirierend und hilfreich.
EingroßerDankgehörtauchProf. AlexanderSzimayer. SeineBetreuungwar
ausgezeichnet und seine Herangehensweise an angewandte Probleme waren
ein Vorbild für mich.
Für hilfreiche Hinweise bei der Erstellung dieser Arbeit bedanke ich mich
bei Peter Ruckdeschel und Gerald Kroisandt. Auch möchte ich mich bei
der gesamten Abteilung Finanzmathematik des Fraunhofer Instituts für
Techno- und Wirtschaftsmathematik bedanken. Namentlich möchte ich Ste-
fan Lorenz, Johan de Kock, Jörg Wenzel, Tilman Sayer und Roman Horsky
erwähnen. Vielen Dank an Ralf Fischer für das Korrekturlesen.
DergrößteDankgebührtjedochmeinenElternHedwigundPeterDesmettre.
IchmöchtemichfürihrebedingungsloseUnterstützungüberalldieJahrebei
ihnen bedanken. Ohne sie und ihr leuchtendes Vorbild hätte ich es niemals
so weit gebracht, wie ich es jetzt geschafft habe. Auch möchte ich mich
bei meiner Schwester Andrea Bächle für ihre fortwährende Unterstützung
bedanken.
Kaiserslautern, im August 2010 Sascha DesmettreZUSAMMENFASSUNG 1
Zusammenfassung
Wir entwickeln ein Modell zur Berechnung des in die eigenen Firmenaktien
investierten Anteils und des Arbeitsaufwandes von leitenden Angestellten.
Der leitende Angestellte - charakterisiert durch Risikoaversions- und Ar-
beitseffektivitätsparameter - investiert sein Vermögen ohne Einschränkun-
gen in den Finanzmarkt einschließlich der Aktie der eigenen Firma, deren
Wert er durch seinen Arbeitsaufwand beeinflussen kann. Die nutzenmaxi-
mierende Investitions- und Arbeitsaufwandsstrategie wird in geschlossener
Form hergeleitet und mit einem Nutzenindifferenzargument die angemessene
Entlohnung bestimmt. Der leitende Angestellte ist bei der Vertragserfüllung
nicht eingeschränkt. Jedoch stellt die berechnete Arbeitsaufwandsstrategie
einen Basisfall dar, der einen Einblick darin gibt, wie man die finanziellen
Leistungen von leitenden Angestellten bemessen könnte und wie sie auf Ein-
schränkungen bei der Vertragserfüllung reagieren könnten. Zudem betrach-
ten wir ein hochqualifiziertes Individuum, das die Wahl zwischen zwei Kar-
riereoptionen hat. Das Individuum kann zwischen einer mittleren Manage-
mentposition in einer großen Firma und einer leitenden Position in einer
kleineren börsennotierten Gesellschaft wählen, in der es die Möglichkeit hat,
denWertderAktiedereigenenGesellschaftzubeeinflussen. DasIndividuum
investiert in den Finanzmarkt einschließlich der Aktie der kleineren börsen-
notierten Gesellschaft. Die nutzenmaximierende Konsum-, Investitions- und
Arbeitsaufwandsstrategie wird in geschlossener Form hergeleitet. Es werden
Bedingungen in Form eines Einkommensunterschiedes angegeben, bei denen
das Individuum die Karriere in der kleineren börsennotierten Gesellschaft
fortführt. DiesekanneingeringeresEinkommenanbieten. DasEinkommens-
defizit wird durch die Möglichkeit, von einem gesteigerten Arbeitsaufwand
durch Ankauf von eigenen Firmenaktien zu profitieren, kompensiert. Diese
Ergebisse geben einen Einblick in das optimale Design von Verträgen.