Parameter estimation in panels of intercorrelated time series [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Stefanie Feiler

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INAUGURAL DISSERTATIONzur Erlangung der Doktorwürdeder Naturwissenschaftlich Mathematischen Gesamtfakultätder Ruprecht Karls Universität Heidelbergvorgelegt vonStefanie Feileraus BacknangTag der mündlichen Prüfung: 7. Dezember 2005Parameter Estimationin Panelsof Intercorrelated Time SeriesGutachter: Prof. Dr. Rainer DahlhausProf. Dr. Enno MammenAbstractWe consider parameter estimation in panels of intercorrelated time series. By a fac torisation of the conditional log likelihood function we obtain a new estimatoraˆn,Tfor panels of intercorrelated autoregressive time series. We generalise this model to afactor model, where a single underlying background process is responsible for the com mon behaviour of the time series in the panel, and derive the corresponding conditionalmaximum likelihood estimators. Consistency and asymptotic normality are proved forthe estimators in both models. It turns out thataˆ is asymptotically equivalent to then,Testimator aˆ given in Hjellvik and Tjøstheim (1999a) if the number of time seriesHTin the panel tends to infinity. It is more efficient if only the length of the time seriesincreases. Furthermore the mean squared errors of the dominant terms in the stochasticexpansions of these estimators have the ratio(n−1)/n, which indicates that already thesmall sample bias of aˆ is smaller than that of aˆ . These properties are confirmedn,T HTin the simulations.

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Published 01 January 2006
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INAUGURAL DISSERTATION
zur Erlangung der Doktorwürde
der Naturwissenschaftlich Mathematischen Gesamtfakultät
der Ruprecht Karls Universität Heidelberg
vorgelegt von
Stefanie Feiler
aus Backnang
Tag der mündlichen Prüfung: 7. Dezember 2005Parameter Estimation
in Panels
of Intercorrelated Time Series
Gutachter: Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Prof. Dr. Enno MammenAbstract
We consider parameter estimation in panels of intercorrelated time series. By a fac
torisation of the conditional log likelihood function we obtain a new estimatoraˆn,T
for panels of intercorrelated autoregressive time series. We generalise this model to a
factor model, where a single underlying background process is responsible for the com
mon behaviour of the time series in the panel, and derive the corresponding conditional
maximum likelihood estimators. Consistency and asymptotic normality are proved for
the estimators in both models. It turns out thataˆ is asymptotically equivalent to then,T
estimator aˆ given in Hjellvik and Tjøstheim (1999a) if the number of time seriesHT
in the panel tends to infinity. It is more efficient if only the length of the time series
increases. Furthermore the mean squared errors of the dominant terms in the stochastic
expansions of these estimators have the ratio(n−1)/n, which indicates that already the
small sample bias of aˆ is smaller than that of aˆ . These properties are confirmedn,T HT
in the simulations.
The second part of the thesis is concerned with robust estimation in panels of autore
gressive time series. We investigate three different approaches. Firstly we robustify the
above estimators in a direct way. Furthermore we generalise the robust autocovariance
estimator of Ma and Genton (2000) to the panel case. We define a panel breakdown
point for time series in two ways depending on the type of outliers assumed and com
pute its value for the panel autocovariance estimator. The estimated autocovariances
are then used for the robust parameter estimation. Finally we propose an outlier test
based upon the phase space representation of the time series in the panel, which can be
used for eliminating outliers from the data set before using a non robust method of es
timation. We derive the asymptotic distribution of the test statistic and define a robust
version of the test. For comparison we include other estimators in the analysis. The
performance of the proposed robust procedures is investigated in a simulation study.
For assessing the applicability of the above methods we analyse two sets of empirical
data.Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Parameterschätzung in Panels interkorrelierter
Zeitreihen. Durch eine Faktorisierung der bedingten Log Likelihood Funktion erhal
ten wir einen Schätzeraˆ in Panels von interkorrelierten autoregressiven Zeitreihen.n,T
Dieses Modell wird zu einem Faktormodell verallgemeinert, in dem ein einzelner im
Hintergrund ablaufender Prozess für das gemeinsame Verhalten der Zeitreihen im Panel
verantwortlich ist. Hierfür entwickeln wir den zugehörigen Maximum Likelihood
Schätzer. Für die Schätzer in beiden Modellen werden Konsistenz und asymptotische
Normalität bewiesen. Es stellt sich heraus, dass aˆ asymptotisch äquivalent zu demn,T
Schätzeraˆ aus Hjellvik and Tjøstheim (1999a) ist, wenn die Zahl der Zeitreihen imHT
Panel gegen Unendlich strebt. Wenn nur die Länge der Zeitreihen wächst, ist aˆ ef n,T
fizienter. Zudem stehen die quadratischen Fehler der Hauptterme in der Entwicklung
dieser Schätzer im Verhältnis (n−1)/n, was nahelegt, dass schon der Bias von aˆn,T
kleiner als derjenige vonaˆ ist. Diese Eigenschaften werden durch die SimulationenHT
bestätigt.
Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit robuster Schätzung für Panels von au
toregressiven Zeitreihen. Wir untersuchen drei unterschiedliche Ansätze. Zunächst
robustifizieren wir die obigen Schätzer direkt. Des weiteren verallgemeinern wir den
robusten Autokovarianzschätzer von Ma and Genton (2000) auf die Panel Situation.
Wir definieren einen Breakdown Point für Zeitreihen in Abhängigkeit von der Art
der angenommenen Ausreißer und berechnen seinen Wert für den Panel Autokova
rianzschätzer. Die geschätzten Autokovarianzen werden dann für die robuste Parame
terschätzung eingesetzt. Zuletzt schlagen wir einen Test für Ausreißer vor, der auf
der Phasenraumdarstellung der Zeitreihen im Panel beruht. Dieser kann dazu ver-
wandt werden, Ausreißer vor Anwendung einer nicht robusten Schätzmethode aus dem
Datensatz zu entfernen. Wir bestimmen die asymptotische Verteilung der Teststatistik
und definieren eine robuste Version des Tests. Zum Vergleich schließen wir weitere
Schätzer in die Untersuchung mit ein. Das Verhalten der vorgeschlagenen robusten
Verfahren wird in einer Simulationssstudie untersucht.
Um die Anwendbarkeit der obigen Methoden zu beurteilen, analysieren wir zwei Daten
sätze aus empirischen Studien.Contents
Introduction i
Notation 1
1 Preliminaries 2
1.1 Basic Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 The Panel Autocovariance Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 The Intercorrelation Model 10
2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 The Model (ICM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Generalisation (GICM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Conditional Maximum Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Factorisation of the Log Likelihood in the ICM . . . . . . . . . 20
2.4.2 The Minimisation Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Parameter Estimation in the GICM . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Asymptotic Theory for the MLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1 A Classic Theorem on Asymptotic Normality . . . . . . . . . . 34
2.5.2 Asymptotic Properties of the Conditional
Log Likelihood Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Asymptotic Normality in the ICM . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.4 Proof of Theorem 2.5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.5 Asymptotic Normality in the GICM . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Properties of the Parameter Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 Robust Estimation 75
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Robustifying the ICM Parameter Estimator . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 The Robust Panel Autocovariance . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5 Parameter Estimation via Robust Autocovariances . . . . . . . . . . . . 86
3.6 Robust Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 Outlier Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7.1 Likelihood Ratio Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7.2 Phase Space Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8 Conclusion and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
ix4 Real Data Examples 99
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Population Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3 Fibromyalgia Syndrome Therapy Study . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Appendix 108
A Simulation Results (ICM / GICM) 109
A.1 Small Panels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.2 Increasing Length of the Time Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.3 AR(6) Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B Simulation Study (Robust Estimators) 116
B.1 Robustifying the ICM Parameter Estimator . . . . . . . . . . . . . . . 118
B.1.1 Improvement by Bootstrap Procedures . . . . . . . . . . . . . . 120
B.2 Robust Autocovariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2.1 The Robust Panel Autocovariance Estimatorγˆ . . . . . . . . 123n,T
ˆ ˆB.2.2 Comparison ofθ andθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Q MCD
B.2.3 Robust Regression Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
B.3 Outlier Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B.3.1 Likelihood Ratio Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B.3.2 Phase Space Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.4 Comparative Evaluation of the Simulation Results . . . . . . . . . . . . 138
C Proofs and Auxiliary Results 142
C.1 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
C.2 Auxiliary Results for Section 2.5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C.2.1 Proof of Lemma 2.5.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C.2.2 Properties of the Martingale Differences . . . . . . . . . . . . 149
C.3 Proofs for Section 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C.3.1 Rates of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C.3.2 Some Remarks on Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Bibliography 162