Quantum information theory with Gaussian systems [Elektronische Ressource] / von Ole Krüger
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Quantum Information Theorywith Gaussian SystemsVon der Fakulta¨t fu¨r Physik und Geowissenschaftender Technischen Universit¨at Carolo-Wilhelminazu Braunschweigzur Erlangung des Grades einesDoktors der Naturwissenschaften(Dr.rer.nat.)genehmigteDissertationvon Ole Kru¨geraus Braunschweig1. Referent Prof.Dr.Reinhard F.Werner2. Referent Prof.Dr.Martin B.Plenioeingereicht am 5.Januar 2006mu¨ndliche Pru¨fung (Disputation) am 6.April 2006Druck 2006Vorvero¨ffentlichungen der DissertationTeilergebnisse aus dieser Arbeit wurden mit Genehmigung der Fakulta¨t fu¨r Physikund Geowissenschaften, vertreten durch den Mentor der Arbeit, in folgenden Bei-tra¨gen vorab ver¨offentlicht:PublikationenN.Cerf, O.Kru¨ger, P.Navez, R.F.Werner und M.M.Wolf, Non-GaussianCloning of Quantum Coherent States is Optimal , Phys.Rev.Lett. 95, 070501(2005).O.Kru¨ger und R.F.Werner, Gaussian Quantum Cellular Automata , inQuantum Information with continuous variables of atoms and light,herausgegeben von N.Cerf, G.Leuchs und E.S.Polzik (Imperial College Press,London/UK, im Druck).Tagungsbeitr¨ageJ.I.Cirac, G.Giedke, O.Kru¨ger, R.F.Werner und M.M.Wolf, Entanglementof Formation for Gaussian States with 1×1 modes , Third Conference ofesf-qit Advances in quantum information processing: from theory toexperiment (Poster, Erice/Italien, 15.–22.3.2003).O.Kru¨ger, R.F.Werner und M.M.

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Published 01 January 2007
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Quantum Information Theory
with Gaussian Systems
Von der Fakulta¨t fu¨r Physik und Geowissenschaften
der Technischen Universit¨at Carolo-Wilhelmina
zu Braunschweig
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
(Dr.rer.nat.)
genehmigte
Dissertation
von Ole Kru¨ger
aus Braunschweig1. Referent Prof.Dr.Reinhard F.Werner
2. Referent Prof.Dr.Martin B.Plenio
eingereicht am 5.Januar 2006
mu¨ndliche Pru¨fung (Disputation) am 6.April 2006
Druck 2006Vorvero¨ffentlichungen der Dissertation
Teilergebnisse aus dieser Arbeit wurden mit Genehmigung der Fakulta¨t fu¨r Physik
und Geowissenschaften, vertreten durch den Mentor der Arbeit, in folgenden
Beitr¨agen vorab vero¨ffentlicht:
Publikationen
N.Cerf, O.Kru¨ger, P.Navez, R.F.Werner und M.M.Wolf, Non-Gaussian
Cloning of Quantum Coherent States is Optimal , Phys.Rev.Lett. 95, 070501
(2005).
O.Kru¨ger und R.F.Werner, Gaussian Quantum Cellular Automata , in
Quantum Information with continuous variables of atoms and light,
herausgegeben von N.Cerf, G.Leuchs und E.S.Polzik (Imperial College Press,
London/UK, im Druck).
Tagungsbeitr¨age
J.I.Cirac, G.Giedke, O.Kru¨ger, R.F.Werner und M.M.Wolf, Entanglement
of Formation for Gaussian States with 1×1 modes , Third Conference of
esf-qit Advances in quantum information processing: from theory to
experiment (Poster, Erice/Italien, 15.–22.3.2003).
O.Kru¨ger, R.F.Werner und M.M.Wolf, Cloning Gaussian States ,
dpg-Fru¨hjahrstagung 2004 (Vortrag, Mu¨nchen, 22.–26.3.2004).
O.Kru¨ger und R.F.Werner, Gaussian Quantum Cellular Automata ,
cvqip’ Workshop (Poster, Veilbronn, 2.–5.4.2004).
O.Kru¨ger und R.F.Werner, Gaussian Quantum Cellular Automata ,
ein International Symposium on Entanglement, Information&Noise
(Poster, Krzyz˙owa/Polen,14.–20.6.2004).
O.Kru¨ger und R.F.Werner, Gaussian Quantum Cellular Automata ,
dpg-Fru¨hjahrstagung 2005 (Vortrag, Berlin, 4.–9.3.2005).
O.Kru¨ger und R.F.Werner, Gaussian Quantum Cellular Automata ,
iqing (Vortrag, Paris/Frankreich,23.–25.7.2005).



















Contents
Summary 1
1 Introduction 5
2 Basics of Gaussian systems 9
2.1 Phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Noncommutative Fourier transf. and characteristic functions 13
2.1.2 Symplectic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Gaussian states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Coherent, thermal and squeezed states . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Spectral decomposition and exponential form . . . . . . . . . 21
2.2.3 Entangled states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Singular states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Gaussian channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Cloning
3 Optimal cloners for coherent states 31
3.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Fidelities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Technicalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Transformation Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Joint fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 Single-copy fidelity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Numerical optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Best Gaussian 1-to-2 cloners . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Best symmetric Gaussian 1-to-n cloners . . . . . . . . . . . . 54
3.4.3 Classical cloning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.4 Bosonic output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Optical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Teleportation criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
vContents
Quantum Cellular Automata
4 Gaussian quantum cellular automata 69
4.1 Quantum cellular automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Reversible Gaussian qca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.1 Phase space and basics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.2 Transition rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.3 Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.4 Example system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Irreversible Gaussian qca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Private Quantum Channels
5 Gaussian private quantum channels 101
5.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 Security estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Single mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 Result and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Bibliography 117
viList of Figures
2.1 Depicting Gaussian states in phase space. . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Schematic diagram of achievable worst-case single-copy fidelities . . 35
3.2 Numerical single-copy fidelities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Optical scheme of a displacement-covariant cloner. . . . . . . . . . . 62
3.4 Teleportation scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1 Depicting the time step of a qca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
ˆ4.2 Depicting the eigenvalues of Γ(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Plot ofα(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1 Illustrating the continuous encryption of single-mode coherent states 103
5.2 Depicting the discretizationT of the cutoff integral inT . . . . . . 109Σ []
viiList of Figures
viiiList of Theorems
2.1 Theorem . . . . . . . 12 4.1 Definition . . . . . . 73
2.2 Lemma . . . . . . . 13 4.2 Lemma . . . . . . . 74
2.3 Theorem . . . . . . . 13 4.3 Corollary . . . . . . 75
2.4 Theorem . . . . . . . 17 4.4 Proposition . . . . . 80
2.5 Theorem . . . . . . . 17 4.5 Lemma . . . . . . . 82
2.6 Theorem . . . . . . . 25 4.6 Lemma . . . . . . . 84
4.7 Proposition . . . . . 87
3.1 Lemma . . . . . . . 37 4.8 Theorem . . . . . . . 87
3.2 Lemma . . . . . . . 39 4.9 Theorem . . . . . . . 89
3.3 Corollary . . . . . . 42 4.10 Lemma . . . . . . . 94
3.4 Proposition . . . . . 43 4.11 Lemma . . . . . . . 95
3.5 Proposition . . . . . 47 4.12 Lemma . . . . . . . 97
3.6 Proposition . . . . . 48
3.7 Lemma . . . . . . . 56 5.1 Proposition . . . . . 113
3.8 Lemma . . . . . . . 57 5.2 Corollary . . . . . . 113
3.9 Proposition . . . . . 58
3.10 Lemma . . . . . . . 59
3.11 Proposition . . . . . 61
3.12 Corollary . . . . . . 64
3.13 Corollary . . . . . . 65
ixList of Theorems
x