Riblets in the viscous sublayer [Elektronische Ressource] : optimal shape design of microstructures / vorgelegt von Elfriede Friedmann

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Inaugural - Dissertationzur Erlangung der Doktorwur¨ de derNaturwissenschaftlich - MathematischenGesamtfakulta¨t derRuprecht - Karls - Universit¨at Heidelbergvorgelegt vonDiplom MathematikerinElfriede Friedmannaus Temeschburg/Rum¨anienTag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 10.11.2005ThemaRiblets in the viscous sublayerOptimal Shape Design of MicrostructuresGutachter Prof. Dr. Dr. h.c.mult Willi J¨agerProf. Dr. Rolf RannacherAbstractPreviousresearchhasestablishedthatasmoothsurfacehasnotnecessarilyminimaldrag:Many experiments by different laboratories, e.g. NASA and DLR Berlin, indicate that anextra surface layer with tiny grooves aligned in the stream-wise direction can be used toreduce the drag. The aim of this project is to find the optimal shape of such microstruc-tures on surfaces of submerged bodies. We assume that these microstructures remainin the viscous sublayer where the flow equations are the 3D incompressible, steady stateNavier-StokesequationswithaCouettein-andoutflowdeterminatedthroughtwobound-ary conditions, the no-slip condition on the lower boundary and the friction condition onthe upper one. The objective function of our optimization problem is the tangentialdrag force, which we want to minimize. Solving this problem is difficult because of therough boundary, which causes a big amount of data. We apply homogenization theoryand replace the rough boundary by a smooth one, where the right boundary conditionshave been determined.

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Published 01 January 2006
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Inaugural - Dissertation
zur Erlangung der Doktorwur¨ de der
Naturwissenschaftlich - Mathematischen
Gesamtfakulta¨t der
Ruprecht - Karls - Universit¨at Heidelberg
vorgelegt von
Diplom Mathematikerin
Elfriede Friedmann
aus Temeschburg/Rum¨anien
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 10.11.2005Thema
Riblets in the viscous sublayer
Optimal Shape Design of Microstructures
Gutachter Prof. Dr. Dr. h.c.mult Willi J¨ager
Prof. Dr. Rolf RannacherAbstract
Previousresearchhasestablishedthatasmoothsurfacehasnotnecessarilyminimaldrag:
Many experiments by different laboratories, e.g. NASA and DLR Berlin, indicate that an
extra surface layer with tiny grooves aligned in the stream-wise direction can be used to
reduce the drag. The aim of this project is to find the optimal shape of such microstruc-
tures on surfaces of submerged bodies. We assume that these microstructures remain
in the viscous sublayer where the flow equations are the 3D incompressible, steady state
Navier-StokesequationswithaCouettein-andoutflowdeterminatedthroughtwobound-
ary conditions, the no-slip condition on the lower boundary and the friction condition on
the upper one. The objective function of our optimization problem is the tangential
drag force, which we want to minimize. Solving this problem is difficult because of the
rough boundary, which causes a big amount of data. We apply homogenization theory
and replace the rough boundary by a smooth one, where the right boundary conditions
have been determined. Furthermore, our optimization problem can be simplified using
this approximation and we end up minimizing a scalar size, the Navier constant, which
is calculated using the velocity of an auxiliary boundary layer equation. To solve the
optimization problem we use sensitivity-based optimization methods. The sensitivity is
calculated analytically and we use it to determine the gradient of the cost function with
respect to the design variable. A minimum is sought by using the steepest descent algo-
rithm with step size according to Armijo rule. The necessary optimality conditions are
derivedandasequenceofadmissibledomainsisbuiltwhichtendstotheoptimalsolution.
Thestateequationsaresolvednumericallyusingfiniteelementsonunstructuredgridsand
multigrid algorithms. The results obtained with this approach give us a drag reduction
of approximately 2–6% relative to the drag of the smooth configuration.
Zusammenfassung
Bisherige Forschung hat gezeigt, dass eine glatte Oberflache eines in Flussigkeit einge-¨ ¨
tauchten Kor¨ pers nicht die minimale Widerstandskraft haben muss: So kann eine hauch-
dunne Folie mit Rillen, die in Stromungsrichtung ausgerichtet sind, als widerstands-¨ ¨
minimierendeOberflac¨ hedienen.DieserAnsatzresultierteausdenForschungsergebnissen
derNASAundderDLRBerlin.DasZieldiesesProjektsbestehtdarin,dieoptimaleForm
der Mikrostrukturen auf der Oberflache zu finden, so dass die Widerstandskraft minimal¨
wird. Bei der Modellierung musse¨ n wir uns darauf beschrank¨ en, dass die Rillen aus der
viskosen Grenzschicht nicht herausragen. Die Stromungsgleichungen konnen dann durch¨ ¨
die inkompressiblen stationar¨ en Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden. Als Ein-
und Ausstromung ist eine Couette Stromung festgelegt, die am unteren Rand durch die¨ ¨
Haft- und am oberen Rand durch die Reibungsbedingung gegeben ist. Das Zielfunktional
unseres Optimierungsproblems ist die tangentiale Widerstandskraft. Die Losung dieses¨
Problems gestaltet sich schwierig, da der untere rauhe Rand eine Handhabung großer Da-
tenmengen erfordert. Durch Anwendung von Homogenisierung konnen¨ wir diesen rauen
Rand durch einen glatten ersetzen, wobei die Informationen der Rauheiten durch andere
Randbedingungen mitgegeben werden. Nach einer Reihe von Approximationen wird das
iursprunglic¨ heOptimierungsproblemsovereinfacht,dassdieZielfunktiondurcheineskala-
re Große, der Navier Konstanten, und die Nebenbedingungen durch die Grenzschichtglei-¨
chungengegebensind.ZurLosung¨ desOptimierungsproblemsverwendenwirdieaufSensi-
tivitatenbasierendenOptimierungsmethoden.DieSensitivitaten,diezurBestimmungdes¨ ¨
Gradienten des Zielfunktionals bezuglic¨ h der Designvariablen dienen, werden analytisch
bestimmt. Ein Minimum wird durch das Verfahren des steilsten Abstiegs mit regulierter
Schrittweite nach der Armijo Regel gesucht. Die notwendigen Optimalit¨atsbedingungen
werdenabgeleitet,undeineMinimalfolgezulassigerGebietegebildet.DieNebenbedingun-¨
gen, die durch die Grenzschichtgleichungen gegeben sind, werden nummerisch durch eine
Finite-Elemente-DiskretisierungaufunstrukturiertenGitternmittelsMehrgitterverfahren
gelost. Die so erhaltenen Ergebnisse weisen eine Widerstandsminimierung zwischen 2 und¨
6% relativ zum Widerstand der glatten Oberflac¨ he auf.
iiEs gibt keine großen Entdeckungen und
Fortschritte, solange es noch ein
ungluc¨ kliches Kind auf Erden gibt.
Albert Einstein (14.03.1879 - 18.04.1955)
iiiContents
Introduction xi
1 Modeling of flow over 2D rough surfaces 1
1.1 Rough surfaces and their industrial importance . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The viscous sublayer in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 The shape optimization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 A rough surface has lower drag than a smooth one. . . . . . . . . . 14
1.4.2 Optimal spacing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Optimal Design Problem 27
2.1 Setting of the shape optimization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Sensitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Optimality Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Boundary modification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Sensitivity-based optimization method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 The gradient of the cost functional through sensitivities . . . . . . . 37
2.3.2 Optimization method: steepest descent . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Numerical Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1 Approximation of the boundary layer problem on a finite domain . 43
2.4.2 Discretization of the boundary layer problem . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.3 Discretization of the optimization problem . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.4 Some comments on the optimization routine . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Direct simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
v3 The shark skin as drag reducing surface 63
3.1 Modeling of the viscous sublayer of a turbulent Couette flow in 3D . . . . . 64
3.2 Modeling of longitudinal riblets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 The protrusion height. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 The three-dimensional optimization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Numerical results for cross and longitudinal flow . . . . . . . . . . . . . . . 75
Conclusion 79
Bibliography 83
vi