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Robust optimization with application in asset management [Elektronische Ressource] / Katrin Schöttle

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Technische Universität MünchenZentrum MathematikHVB-Stiftungsinstitut für FinanzmathematikRobust Optimizationwith Application in Asset ManagementKatrin SchöttleVollständiger Abdruck der von der Fakultät für Mathematik der TechnischenUniversität München zur Erlangung des akademischen Grades einesDoktors der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat.)genehmigten Dissertation.Vorsitzende: Univ.-Prof.Dr. Claudia KlüppelbergPrüfer der Dissertation: 1. Univ.-Prof.Dr. Rudi Zagst2. Dr. Jan-Joachim Rückmann, Senior LecturerUniversity of Birmingham / U.K.DieDissertationwurdeam27.06.2007beiderTechnischenUniversitäteingereichtund durch die Fakultät für Mathematik am 12.11.2007 angenommen.iiAcknowledgementsFirst of all I would like to thank my advisor Prof. Dr. Rudi Zagst who offeredme the chance to do a dissertation at the Institute for Mathematical Finance atthe TU München. He provided a comfortable working environment and was openfor questions whenever needed. I am also very grateful for the possibilities andthe financial support that allowed me to present my research results at variousinternational conferences. I would furthermore like to thank Dr. habil. JanRückmann for being my co-referee.My most sincere thanks go to Dr. Ralf Werner, without whom this disser-tation would not have been possible. Not only did he initiate the thesis topic,he also spent many evenings and long Sunday afternoons discussing mathemati-cal problems with me.

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Published 01 January 2007
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Language English
Document size 2 MB

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
HVB-Stiftungsinstitut für Finanzmathematik
Robust Optimization
with Application in Asset Management
Katrin Schöttle
Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Mathematik der Technischen
Universität München zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzende: Univ.-Prof.Dr. Claudia Klüppelberg
Prüfer der Dissertation: 1. Univ.-Prof.Dr. Rudi Zagst
2. Dr. Jan-Joachim Rückmann, Senior Lecturer
University of Birmingham / U.K.
DieDissertationwurdeam27.06.2007beiderTechnischenUniversitäteingereicht
und durch die Fakultät für Mathematik am 12.11.2007 angenommen.iiAcknowledgements
First of all I would like to thank my advisor Prof. Dr. Rudi Zagst who offered
me the chance to do a dissertation at the Institute for Mathematical Finance at
the TU München. He provided a comfortable working environment and was open
for questions whenever needed. I am also very grateful for the possibilities and
the financial support that allowed me to present my research results at various
international conferences. I would furthermore like to thank Dr. habil. Jan
Rückmann for being my co-referee.
My most sincere thanks go to Dr. Ralf Werner, without whom this disser-
tation would not have been possible. Not only did he initiate the thesis topic,
he also spent many evenings and long Sunday afternoons discussing mathemati-
cal problems with me. He furthermore answered patiently many questions and
proposed valuable ideas. Thanks a lot for everything, Ralf!
Finally, I want to thank my colleagues, friends and family for patiently lis-
tening to my complaints about unfinished proofs or incomplete sections and for
encouraging me throughout the time.
iiiivAbstract
This dissertation first reviews parametric convex conic optimization problems
with respect to stability (continuity) properties. Afterwards, the general problem
formulation gets modified using the robust counterpart approach of Ben-Tal and
Nemirovski [4] to account for uncertainty in the parameters. This is done by
introducing an uncertainty set for the parameters and performing a worst-case
optimization. Afteranalyzingtherobustprogramaswellwithrespecttostability,
itisshownthatrobustificationwithanellipsoidaluncertaintysetleadstoaunique
andcontinuousoptimalsolutioninmanycasesandthecostsassociatedwithsuch
a benefit are qualified.
In the second part of the dissertation the robust counterpart approach is
applied to the portfolio optimization problem of Markowitz [56] whose solution
is known to be rather dependent on the input parameters. Hence, the main
task in practice is to determine parameter estimates and to create appropriate
uncertaintysets,especiallyaroundthevectorofexpectedassetreturnswhichcru-
cially influences the outcome of the portfolio optimization problem. We illustrate
different definitions of ellipsoidal uncertainty sets for the return vector and the
consequencesoftheaccordingrobustoptimizationproblems. Finally, consistency
of parameters, uncertainty sets and of the resulting classical and robust portfolio
estimates is investigated as well.
vviZusammenfassung
IndieserDissertationwerdenzunächstparametrischekonvexeKegeloptimierungs-
probleme hinsichtlich ihrer Stabilitäts- bzw. Stetigkeitseigenschaften betrachtet.
Anschließend wird die allgemeine Formulierung anhand des „robust counterpart“
Ansatzes von Ben-Tal und Nemirovski [4] modifiziert, um Parameterunsicherheit
explizit berücksichtigen zu können. Dies wird dadurch erreicht, dass an Stelle
eines konkreten Parameters eine Unsicherheitsmenge eingeführt wird und über
den schlechtesten Fall optimiert wird. Nach der Analyse des robusten Opti-
mierungsproblems hinsichtlich seiner Stetigkeitseigenschaften wird gezeigt, dass
in vielen Fällen die Robustifizierung unter Verwendung einer elliptischen Un-
sicherheitsmengezueinereindeutigenundstetigenLösungdesOptimierungsprob-
lems führt. Die auftretenden Kosten, die mit einem solchen Ansatz verbunden
sind, werden ebenfalls untersucht und qualifiziert.
Im zweiten Teil der Dissertation wird dieser „robust counterpart“ Ansatz auf
das Portfoliooptimierungsproblem von Markowitz [56] angewandt, von welchem
bekannt ist, dass die Lösung sehr stark von den Inputparametern abhängt. Das
Hauptproblem bei praktischen Fragestellungen ist demnach die Bestimmung von
adäquaten Parametern und die Definition von geeigneten Unsicherheitsmengen,
insbesondere für den Vektor der erwarteten Assetrenditen, welche das Resultat
der Portfoliooptimierung maßgeblich beeinflussen. Es werden verschiedene el-
liptische Unsicherheitsmengen für den Renditevektor und die Konsequenzen der
zugehörigenrobustenOptimierungsproblemedargestellt. Abschließendwirdnoch
die Eigenschaft der Konsistenz für Parameterschätzer, Unsicherheitsmengen und
die daraus resultierenden klassischen bzw. robusten Portfolios untersucht.
viiContents
1 Introduction 1
1.1 Thesis organization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Related literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I Theory of convex conic optimization and the robust
counterpart approach 7
2 The general convex conic optimization problem 9
2.1 Conic optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 General convex conic optimization problem . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 U-stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Review of existing results . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Properties of the feasibility set mappingF . . . . . . . . . 26
∗2.3.3 Properties of the optimal value function f . . . . . . . . . 28
∗2.3.4 Properties of theal set mappingF . . . . . . . . . 32
∗2.3.5 Properties of the ε-optimal set mappingF . . . . . . . . 36ε
2.3.6 Illustrative example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 The (local) robust counterpart approach 43
3.1 General definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Stability of the LRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Influence of the shape of the uncertainty set . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Influence of the size of the uncertainty set . . . . . . . . . . . . . 79
II Application of robust optimization in asset manage-
ment 87
4 Traditional portfolio optimization 89
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Elliptical distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
ixx
4.3 Parameter estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Portfolio theory and the classical optimization problem . . . . . . 107
5 Robust portfolio optimization 121
5.1 The robust portfolio optimization problem . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Confidence ellipsoid around the MLE . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.1 Confidence ellipsoid for μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.2 Joint confidence ellipsoid for μ and Σ . . . . . . . . . . . . 129
5.3 Combination of various statistical estimators . . . . . . . . . . . . 148
6 Consistency 159
6.1 Consistency of parameter estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2 of uncertainty sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 of portfolio estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7 Portfolio optimization under uncertainty and prior knowledge 171
7.1 Bayesian approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.1.1 Bayesian approach with a continuous prior . . . . . . . . . 173
7.1.2 Bayesian approach with a discrete prior . . . . . . . . . . . 184
7.2 Black-Litterman approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2.1 Black-Litterman point estimates . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2.2 Black-Lit uncertainty set . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3 Comparison of point estimates – Bayes vs. Black-Litterman . . . 201
7.3.1 Restricted Bayes vs. Black-Litterman . . . . . . . . . . . . 203
7.3.2 (General) Bayes vs. Black-Litterman . . . . . . . . . . . . 206
7.4 Comparison of uncertainty sets – Bayes vs. Black-Litterman . . . 207
7.4.1 Restricted Bayes vs. Black-Litterman . . . . . . . . . . . . 209
7.4.2 (General) Bayes vs. Black-Litterman . . . . . . . . . . . . 210
7.5 Summary of the comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8 Summary and Outlook 213
A Convex analysis 217
B Hausdorff distance 221
C Matrix analysis 225
D Selected distributions 229
D.1 Multivariate normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
D.2 Student-t distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
D.3 Wishart distribution and Wishart related distributions . . . . . . 231
E Equivalent representations of an ellipsoidal uncertainty set 237