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String field theory [Elektronische Ressource] : methods and solutions / von Sebastian Uhlmann

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String Field Theory:Methods And SolutionsVon dem Fachbereich Physikder Universit˜ at Hannoverzur Erlangung des Grades einesDoktors der NaturwissenschaftenDr. rer. nat.genehmigte DissertationvonDipl.-Phys. Sebastian Uhlmanngeboren am 14. Oktober 1975 in Bonn2003Referent: Prof. Dr. O. LechtenfeldKorreferent: Prof. Dr. M. LewensteinTag der Promotion: 29.07.2003AbstractWe show that superstring fleld theories are integrable in the sense that their equations of motioncan be written as compatibility conditions (\zero-curvature conditions") for certain linear equa-tions. This makes it possible to transfer powerful solution generating techniques for integrablefleld theories to (open and vacuum) superstring fleld theories. These techniques should facilitatethe task to conflrm Sen’s conjectures, e.g., by flnding classical solutions which correspond tothe closed string vacuum in open string fleld theory.In a flrst preparatory step, one particular solution generating technique, the dressing ap-proach, is introduced in a fleld theory setting. Its use is demonstrated by the construction ofseveral new soliton-like solutions in noncommutative self-dual Yang-Mills theory in 2+2 dimen-sions. These are interpreted as D-branes in N=2 string theory.In a second step, the dressing approach is then transferred to Berkovits’ WZW-like stringfleld theory. Additionally, a second method for the construction of exact classical solutionsis introduced, the splitting technique.

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Published 01 January 2003
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String Field Theory:
Methods And Solutions
Von dem Fachbereich Physik
der Universit˜ at Hannover
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Phys. Sebastian Uhlmann
geboren am 14. Oktober 1975 in Bonn
2003Referent: Prof. Dr. O. Lechtenfeld
Korreferent: Prof. Dr. M. Lewenstein
Tag der Promotion: 29.07.2003Abstract
We show that superstring fleld theories are integrable in the sense that their equations of motion
can be written as compatibility conditions (\zero-curvature conditions") for certain linear equa-
tions. This makes it possible to transfer powerful solution generating techniques for integrable
fleld theories to (open and vacuum) superstring fleld theories. These techniques should facilitate
the task to conflrm Sen’s conjectures, e.g., by flnding classical solutions which correspond to
the closed string vacuum in open string fleld theory.
In a flrst preparatory step, one particular solution generating technique, the dressing ap-
proach, is introduced in a fleld theory setting. Its use is demonstrated by the construction of
several new soliton-like solutions in noncommutative self-dual Yang-Mills theory in 2+2 dimen-
sions. These are interpreted as D-branes in N=2 string theory.
In a second step, the dressing approach is then transferred to Berkovits’ WZW-like string
fleld theory. Additionally, a second method for the construction of exact classical solutions
is introduced, the splitting technique. Both procedures reduce the nonpolynomial equation of
motion to linear equations; solutions of the latter give rise to nonperturbative solutions to the
original equations of motion. This discussion applies to N=1 and N=2 strings. In both cases,
several classes of solutions are presented explicitly.
In a third step, it is shown that these ideas also carry over to cubic superstring fleld theory.
The transition from the description of string fleld theory around the open string vacuum to a
description around the closed string vacuum is embedded in a natural way into the framework
of the dressing approach.
As a (in some respects) simplifled model for a string fleld theory with kinetic operators which
mix difierent world-sheet sectors, N=2 string fleld theory seems to be a viable candidate. We
determine the integration and re ector states as well as the 3-string vertex for the world-sheet
fermions in this theory. Since the fermions are of weights 0 and 1, these vertices do not coincide
with those for N=1 world-sheet fermions, or ghosts. Our results have applications in Berkovits’
hybrid formalism of a covariant superstring fleld theory in D = 4, in the ·» system from the
bosonization of N=1 world-sheet ghosts and the twisted bc system used in vacuum string fleld
theory. They pave the way for the concrete computation of solitonic solutions in nonpolynomial
string fleld theory for N=2 strings.
Finally, several appendices on the mathematical background of the zero-curvature condition,
twisted N=4 superconformal algebras, and interrelations between the fleld and the string fleld
theory discussions conclude this work.
Keywords: String fleld theory, Tachyon condensation, D-branesZusammenfassung
Es wird gezeigt, dass Superstringfeldtheorien integrabel sind in dem Sinne, dass ihre Bewegungs-
gleichungen als Kompatibilt˜ atsbedingungen ( zero-curvature conditions\) von linearen Gleichun-
"
gen aufgefa…t werden k˜ onnen. Somit lassen sich L˜ osungstechniken von integrablen Feldtheorien
auf (ofiene und Vakuum-) Superstringfeldtheorien ub˜ ertragen. Diese Techniken lassen sich ein-
setzen, um die Sen-Vermutungen zu best˜ atigen { beispielweise indem man klassische L˜ osungen
konstruiert, die das Vakuum fur˜ geschlossene Strings aus Sicht der ofienen Stringfeldtheorie
beschreiben.
Vorbereitend wird dazu eine solche L˜ osungstechnik, die dressing-Methode\, in der Feldthe-
"
orie eingefuhrt.˜ Mit ihrer Hilfe werden verschiedene neue solitonartige L˜ osungen in nichtkom-
mutativer selbstdualer Yang-Mills-Theorie in 2+2 Dimensionen berechnet. Diese werden als
D-Branes in einer N=2-Stringtheorie interpretiert.
Im n˜ achsten Schritt wird die dressing-Methode dann auf Berkovits WZW-artige
Stringfeldtheorie ub˜ ertragen. Zus˜ atzlich wird eine zweite Methode fur˜ die Konstruktion von
exakten klassischen L˜ osungen vorgestellt, die splitting-Technik\. Beide Prozeduren reduzieren
"
die nichtpolynomialen Bewegungsgleichungen auf lineare Gleichungen, deren L˜ osungen wiederum
L˜ osungen der ursprunglic˜ hen Bewegungsgleichungen entsprechen. Dieses Verfahren wird fur˜
N=1- und N=2-Strings besprochen. Verschiedene L˜ osungsklassen werden fur˜ beide F˜ alle
angegeben.
˜Im weiteren wird gezeigt, dass sich diese Uberlegungen auch auf die kubische Super-
˜stringfeldtheorie ub˜ ertragen lassen. Der Ubergang von einer ofienen Superstringfeldtheorie auf
eine Vakuum-Superstringfeldtheorie ergibt sich hierbei in naturlic˜ her Weise im Rahmen der
dressing-Methode.
Als einfaches Modell fur˜ eine Stringfeldtheorie mit kinetischen Operatoren, die verschiedene
Welt ˜achen-Sektoren miteinander mischen, bietet sich die N=2-Stringfeldtheorie an. Wir geben
den Integrations-, den Re ektor- sowie den 3-String-Vertex fur˜ die Welt ˜achen-Fermionen in
dieser Theorie an. Da die Fermionen konforme Gewichte 0 und 1 haben, stimmen diese nicht mit
den bekannten Vertizes fur˜ N=1-Welt ˜achen-Fermionen oder -Geistern ub˜ erein. Unsere Resul-
tate lassen sich auch auf Berkovits Hybridformalismus fur˜ eine kovariante Superstringfeldtheorie
in vier Dimensionen, auf das ·»-System (aus der Bosonisierung der N=1-Welt ˜achen-Geister)
und auf das getwistete bc-System in der Vakuum-Stringfeldtheorie anwenden. Mit ihrer Hilfe
lassen sich solitonische L˜ osungen in der N=2-Stringfeldtheorie konkret berechnen.
Verschiedene Anh˜ ange ub˜ er den mathematischen Hintergrund der zero-curvature condition,
getwistete N=4-superkonforme Algebren und die Beziehungen zwischen feld- und stringfeldthe-
oretischen Diskussionen beschlie…en diese Arbeit.
Schlagw˜ orter: Stringfeldtheorie, Tachyonkondensation, D-BranesContents
Chapter I. Introduction 1
Chapter II. Field theory 5
II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.2 Noncommutativity from string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2;2II.3 Noncommutative self-dual Yang-Mills on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.3.1 Notation and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.3.2 Moyal-Weyl map and operator formalism . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.4 Dressing approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.4.1 Unitary gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.4.2 Dimensional reduction to 2+1 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.4.3 Hermitean gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II.5 Conflgurations without scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.5.1 Abelian GMS-like solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.5.2 U(2) solitons without scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.6 Conflgurations with scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.6.1 U(2) solitons with scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.6.2 Colliding plane waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31ii Contents
Chapter III. Short introduction to string fleld theory 33
III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.2 Algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III.3 Three difierent string fleld theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.3.1 Witten’s bosonic string fleld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.3.2 Witten’s cubic superstring fleld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
III.3.3 Berkovits’ nonpolynomial superstring fleld theory . . . . . . . . . . . 46
III.4 Vacuum string fleld theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.4.1 Bosonic vacuum string fleld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.4.2 Cubic vacuum superstring fleld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III.4.3 Nonpolynomial vacuum superstring fleld theory . . . . . . . . . . . . 54
III.5 Projectors of the star algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.5.1 The sliver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.5.2 Other projectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III.5.3 Further remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Chapter IV. Solving the string fleld theory equations 61
IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
IV.2 Reality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
IV.3 Integrability of Berkovits’ string fleld theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV.4 Exact solutions by the splitting approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
IV.5 Exact solutions via dressing of a seed solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IV.6 Solutions of the linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Chapter V. Vacuum superstring fleld theory 79
V.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
V.2 Zero-curvature and linear equations for string flelds . . . . . . . . . . . . . . . 79
V.3 Single-pole ansatz and solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
V.4 Shifting the background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
V.5 Tachyon vacuum superstring flelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
V.6 Ghost picture modiflcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
V.7 Towards explicit solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Contents iii
Chapter VI. The fermionic vertex in N=2 string fleld theory 89
VI.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VI.2 Bosonic matter vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
VI.3 Fermionic identity vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
VI.4 Re ector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
VI.5 Interaction vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
VI.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Chapter VII. Conclusions 113
Appendix A. Mathematical background for the fleld theory part 115
A.1 Self-duality, twistor space and holomorphicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.1 Isotropic coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.1.2 Complex coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.1.3 Real isotropic coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2;2A.1.4 Extended twistor space for R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.1.5 Reality condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.2 Abelian pseudo-instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Appendix B. String theory conventions 123
B.1 Bosonic and N=1 string theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2 N=2 string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Appendix C. Small N=4 superconformal algebra 131
C.1 Realization in terms of N=1 multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.2 in terms of N=2 multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.3 Twisted N=4 superconformal algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Appendix D. A cohomology theorem 137
D.1 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
D.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139iv Contents
Appendix E. Connections between fleld theory and string fleld theory 141
E.1 Witten and Moyal star products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
E.1.1 Continuous basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
E.1.2 Projectors in the continuous basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
E.2 Relation between fleld theory and string fleld theory discussions . . . . . . . . 145
Appendix F. Fermionic overlap equations 149
F.1 Bosonic Neumann coe–cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
F.2 More overlap equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Bibliography 153