Superperturbation theory for correlated fermions [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Christoph Jung
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Published 01 January 2010
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Language English
Document size 4 MB

Exrait

Superperturbation theory for
correlated fermions
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
des Fachbereiches Physik
der Universitat Hamburg
vorgelegt von
Christoph Jung
aus Limburg an der Lahn
Hamburg
2010Gutachter der Dissertation:
Prof. Dr. A. Lichtenstein
J. Prof. Dr. F. Lechermann
Gutachter der Disputation:
Prof. Dr. A. Lichtenstein
Prof. Dr. A. Rubtsov
Datum der Disputation:
15.12.2010
Vorsitzender des Prufungsaussc husses:
Dr. A. Chudnovskiy
Vorsitzender des Promotionsausschusses:
Prof. Dr. J. Bartels
Dekan der MIN-Fakult at:
Prof. Dr. Heinrich GraenerAbstract
This thesis is devoted to new numerical approaches for the treatment of strongly cor-
related systems: The dual fermion perturbation theory is generalized to much broader
scope, which is not limited to the treatment of correlated lattice models. By considering
three di erent problems, it is shown that the dual fermion scheme is a formalism, which
allows to perform a perturbation expansion around an exactly solvable reference system,
which has been optimized for the investigation of the particular physical situation. The
three examples are:
• The superperturbation impurity solver for quantum impurity problems. Here a
nite size system, which can be solved using exact diagonalization, is used to
approximate a bath with a continuous energy spectrum. Several exact limits of
the approach are discussed and a way to directly compute the density of states on
the real axis is introduced. The meaning of the reference system is analyzed in
terms of the Kondo problem and a possible application as a solver for the DMFT
is discussed. At the end of the chapter a renormalization procedure is formulated,
which alleviates the non-causality problem, that can occur at low temperatures.
• The variational lattice approach (VLA). The VLA is a variant of the classical dual
fermion approach, which also utilizes exact diagonalization as an impurity solver
for the reference system. Using this approach the Mott metal insulator transition is
analyzed and the results are compared to a previous CDMFT study. By employing
Pade analytic continuation the pseudogap formation in the bad-metal regime is
investigated.
• The superperturbation impurity solver for quantum impurity problems out of equi-
librium. At the end of the thesis the dual approach is generalized to systems out
of equilibrium within the Keldysh framework. A discretization scheme for the
numerical treatment is discussed and rst results are presented.Kurzzusammenfassung
Diese Arbeit ist neuen numerischen Ans atzen fur die Behandlung von stark korrelierten
Systemen gewidmet. Die Methode der dualen Fermionen wird in ihrem Bedeutungsrah-
men erweitert, der nicht auf die Behandlung von korrelierten Gittermodellen begrenzt
sein muss. Anhand von drei Problemstellungen wird gezeigt, dass die duale St orungstheorie
ein Formalismus ist, der es erlaubt eine St orungsentwicklung um ein exakt osbaresl
Bezugssystem zu formulieren, welches fur die Untersuchung des vorliegenden physikalis-
chen Problems optimiert wurde. Die drei Beispiele sind:
• Das Superperturbations Verfahren zur L osung von quantenmechanischen St or-
stellenproblemen. Hierbei wird eine N aherung fur eine St orstelle in einem Bad
mit kontinuierlichem Energiespektrum mit Hilfe eines Bades endlicher Gr o e kon-
struiert, welches dann durch exakte Diagonalisierung gel ost werden kann. Danach
werden mehrere exakte Grenzf alle der Theorie er ortert und eine Methode zur di-
rekten Berechnung der Zustandsdichte auf der reellen Achse vorgestellt. Die Be-
deutung des Referenzsystems wird im Kontext des Kondo Problems analysiert und
eine Anwendung der Methode als L osungsverfahren fur die dynamische Molekular-
feldtheorie diskutiert. Am Ende des Kapitels wird ein Renormierungsverfahren
eingefuhrt, das Nicht-Kausalit atsprobleme, die bei tiefen Temperaturen auftreten
k onnen, behebt.
• Die Variations-Gitter N aherung (VLA). VLA ist eine Variante des klassischen
Ansatzes dualer Fermionen, welche auch exakte Diagonalisierung zum L osen des
St orstellenproblems einsetzt. Mit Hilfe dieser Methode wurde der Mott Ubergang
analysiert und mit den Ergebnissen fruherer CDMFT Untersuchungen verglichen.
Um die Pseudo-Bandluc ke im metallischen Regime zu untersuchen, wurde eine
analytische Fortsetzung mit Hilfe von Pade auf die reelle Achse durchgefuhrt.
• Das Superperturbations Verfahren zur L osung von quantenmechanischen St or-
stellenproblemen im Nichtgleichgewicht. Am Ende der Arbeit wird der Ansatz
der dualen Fermionen auf Nichtgleichgewichts Systeme verallgemeinert. Dies wirdvi
mit Hilfe der Keldysh Theorie bewerkstelligt. Ein Schema zur numerischen Be-
handlung der auftretenden Gr o en wird eingefuhrt und erste Ergebnisse werden
pr asentiert.\I may not have gone where I intended to go, but I think I have ended up where I needed
to be."
Douglas Adams
English humorist & science ction novelist (1952 - 2001)Contents
Abstract iii
Kurzzusammenfassung v
1 Introduction 1
1.1 Structure of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Anderson Impurity model 7
2.1 From the Hamiltonian to a coherent state path integral formulation . . . 8
2.2 Dynamical Mean Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Cavity construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Impurity Solvers 21
3.1 Exact Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Full . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Calculating correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2.1 One particle Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2.2 Two Green’s function and vertex . . . . . . . . . 31
3.1.3 Lanczos Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3.1 Approximation of matrix functions in the Krylov frame-
work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Applying Monte Carlo to the Anderson impurity model . . . . . . 38
3.2.2 Markov chain and the Metropolis-Hastings algorithm . . . . . . . . 39
3.2.3 Hirsch-Fye Quantum Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Continuous-Time quantum Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4.1 Hybridization algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Diagrammatic representation . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ixx CONTENTS
Monte Carlo sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Segment code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Measurement of Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4.2 Weak-coupling algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
-parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Monte Carlo sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Measurement of Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Dual fermion perturbation theory 63
4.1 Derivation of the dual action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Construction of the dual diagrammatic technique . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Overview of di erent avors of the theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 Dual fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2 Variational lattice approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.3 Superperturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.4 Systems out of equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Superperturbation solver for the Anderson impurity problem 81
5.1 Dual formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 The rst diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Exact limits of the theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.1 Weak-coupling limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.2 Strong-coupling limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.3 Large number of bath sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Choice of the reference system . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 A