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Sur la structure des noyaux sauvages étales des corps de nombres

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Description

Sous la direction de Italie) Università degli studi (Pise, Roberto Dvornicich, Jean-François Jaulent
Thèse soutenue le 02 avril 2009: Bordeaux 1
Le but de ce travail est de présenter des résultats à propos des noyaux sauvages étales. Soit $p$ un nombre premier. Les noyaux sauvages étales d'un corps de nombres $F$ (qui sont dénotés par $WK^{ét}_{2i}(F)$ avec $i\in \mathbb{Z}$) sont des généralisations cohomologiques de la $p$-partie du noyau sauvage classique $WK_{2}(F)$, qui est le sous-groupe de $K_2(F)$ constitué par les symboles qui sont triviaux pour tout symbole de Hilbert local. Ces noyaux sauvages étales sont des $\mathbb{Z}_p$-modules et l'on sait qu'ils sont finis lorsque $i\geq 1$ (et même, suivant les conventions, si $i=0$) : on conjecture en plus qu'ils soient toujours finis (conjecture de Schneider). Dans la suite, on va supposer que cette conjecture est satisfaite. On va s'intéresser en particulier à deux problèmes. Le premier, qui est étudié dans les Chapitres 2 et 3, est la déterminations des structures de groupe qui sont réalisables comme noyaux sauvages étales. En d'autres termes, si l'on se donne un corps de nombres $F$, un $p$-groupe abélien fini $X$ et un nombre entier $i\in\mathbb{Z}$, on peut se demander s'il existe une extension finie $E/F$ telle que $WK^{ét}_{2i}(E)\cong X$. Une question semblable a été étudiée pour les $p$-groupes des classes et il y a un relation précise entre les $p$-groupes des classes et les noyaux sauvages étales. Par conséquent, on peut espérer traduire les résultats classiques dans le contexte des noyaux sauvages étales. Peut-être est-il intéressant de donner ici une courte récapitulation sur le problème de réalisation classique pour les $p$-groupes des classes. Essentiellement, deux techniques sont utilisées. D'un coté, pour un corps de nombres $F$ fixé, l'on étudie la $p$-tour des corps des classes de Hilbert de $F$ : Yahagi a montré que cette tour est infinie si et seulement s'il n'y a pas d'extensions finies $E/F$ dont le $p$-groupe des classes soit trivial. De plus, si la tour est finie, alors toute structure de $p$-groupe abélien apparaît comme $p$-groupe des classes pour quelque extension finie $E/F$. De l'autre coté, une fois que l'on sait que pour un corps de nombres $F$ fixé, il existe une extension finie dont le $p$-groupe de classes est trivial, alors on peut se servir de la théorie du corps des classes et de la théorie des genres pour trouver, pour n'importe quel $p$-groupe abélien fini $X$, une extension finie $E/F$ telle que le $p$-groupe des classes de $E$ est isomorphe à $X$. En effet, la traduction du résultat de Yahagi dans le contexte des noyaux sauvages étales n'est pas tout à fait immédiate : la relation entre le groupe des classes et le noyau sauvage étale d'un corps de nombres $F$ s'écrit dans le langage de $\Gamma$-modules, où $\Gamma$ est le groupe de Galois sur $F$ de la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique de $F(\mu_p)$. La façon la plus naturelle pour s'approcher du problème est donc de considérer le problème de réalisabilité pour les modules d'Iwasawa. Ce problème a été étudié (parmi d'autres auteurs) par Ozaki : il a montré que pour tout $\Lambda$-module fini $X$, il existe un corps de nombres $k$ tel que le module d'Iwasawa de $k$ (c'est à dire la limite projective des $p$-groupes des classes le long de la tour cyclotomique) est isomorphe à $X$. Les techniques utilisées sont inspirées à celles de Yahagi et en fait elles s'appuient d'une façon fondamentale du fait que $p$ ne divise pas le nombre des classes de $\mathbb{Q}$. Pour obtenir la traduction de ce résultat en termes de noyaux sauvages étales il faut considérer plutôt $\mathbb{Q}(\mu_p)$ -plus précisément un sous-corps convenable de $\mathbb{Q}(\mu_p)$. Bien entendu, le nombre des classes de ce sous-corps n'est plus premier avec $p$ (du moment que $p$ peut être irrégulier). D'autre part, si $p$ est régulier, la preuve d'Ozaki peut être adaptée (comme l'on montre dans le Chapitre 2). Pour traiter le cas mauvais (c'est à dire le cas où le nombre des classes du sous-corps convenable comme dessus n'est pas étranger à $p$), on considère des analogues des $p$-corps des classes de Hilbert et des $p$-tours des classes de Hilbert qui ont été définis par Jaulent et Soriano pour $i=0$ et généralisés par Assim (mais sous l'hypothèse que le corps de base contient les racines $p$-ièmes de l'unité). Dans le Chapitre 3, on développe cette théorie dans le cas général : le résultat plus important est que si $WK_{2i}^{ét}(\mathbb{Q})\ne 0$ et $i$ est impair, alors l'analogue de la $p$-tour des classes de Hilbert de $\mathbb{Q}$ est infinie. Cette dernière condition est équivalente à la condition $WK_{2i}^{ét}(F)\ne 0$ pour tout corps de nombres $F$ contenant le même sous-corps convenable de $\mathbb{Q}(\mu_p)$ dont on a parlé tout à l'heure. Il s'agit sans doute de la différence la plus importante entre le cas classique des groupes des classes et celui des noyaux sauvages étales : en d'autres termes, la non finitude de la tour n'implique pas directement l'absence de corps de nombres avec noyau sauvage étale trivial (à cause de la condition sur le sous-corps convenable, bien sûr). Il se peut bien entendu que cette différence soit apparente et que l'on puisse se passer de l'hypothèse sur le sous-corps. On ne s'intéresse pas ici de la question classique sur les conditions suffisantes à fin que la tour soit infinie (à la Golod-Shafarevic) : de toute façon, comme l'on pourra facilement deviner, une adaptation des résultats classiques ne devrait pas être compliquée. Le second problème auquel on s'intéresse dans ce travail est étudié en détail dans le Chapitre 4. On regarde de plus près la suite exacte de localisation en $K$-théorie d'un corps de nombres $F$. On peut se poser la question de déterminer des conditions nécessaires et suffisantes à fin que la suite exacte soit scindée, une motivation étant le théorème de Tate-Milnor qui affirme que, si $E$ est un corps de fonctions rationnelles à une variable, la suite de localisation pour $K_{2}(E)$ est scindée. Revenant au problème de scission pour les corps de nombres, on est amené naturellement à considérer, pour tout $p$ premier, la $p$-suite exacte de localisation, c'est à dire la partie $p$-primaire de la suite de localisation. Banaszak a énoncé un théorème qui affirme que la $p$-suite de localisation de $K_{2i}(F)$ est scindée si et seulement si $\mathrm{div}(K_{2i}(F))_p=0$ (pour un groupe abélien $M$, l'on dénote par $\mathrm{div}(M)$ le sous-groupe des éléments de hauteur infinie). On sait aussi que $\mathrm{div}(K_{2i}(F))_p=WK^{ét}_{2i}(F)$. La trivialité de $WK^{ét}_{2i}(F)$ est bien sûr une condition nécessaire pour que la suite de localisation soit scindée : toutefois la preuve de Banaszak ne semble pas complète. En effet, en cherchant un contre-exemple (c'est à dire un corps de nombres $F$ tel que $WK^{ét}_{2i}(F)=0$ mais la $p$-suite de localisation de $K_{2i}(F)$ n'est pas scindée), on trouve une condition nécessaire et suffisante pour que la $i$-ème suite soit scindée qui est différente de celle de Banaszak. La différence entre cette nouvelle condition et celle de Banaszak ne se voit pas au niveau des petits corps de nombres (c'est à dire par exemple $\mathbb{Q}$ ou les corps quadratiques) : les contre-exemples que l'on exhibe sont en vérité difficiles à trouver. Dans le premier chapitre, on fixe les notations et on rappelle les résultats connus qui servent comme motivation aussi bien que comme outils pour ce travail. En particulier, les groupes de $K$-théorie et les noyaux sauvages étales sont introduits et l'on décrit brièvement leur propriétés.
-Noyaux sauvages étales
-Théorie d'Iwasawa
-Théorie des genres
-Suite de localisation en $K$-théorie
The aim of the present work is to prove some results about étale wild kernels. Let $p$ be an odd prime. Etale wild kernels of a number field $F$ (which are denoted $WK^{ét}_{2i}(F)$ for $i\in \mathbb{Z}$) are cohomological generalizations of the $p$-part of the classical wild kernel $WK_{2}(F)$, which is the subgroup of $K_2(F)$ made up by symbols which are trivial for any local Hilbert symbol. Etale wild kernels are $\mathbb{Z}_p$-modules which are known to be finite if $i\geq1$ (and even if $i=0$, depending on the chosen convention): actually they are conjectured to be always finite (the Schneider conjecture). In the following we will suppose that this is always the case. Two problems are studied in detail. The first, which is analyzed in Chapter 2 and Chapter 3, is to determine which group structures are realizable for étale wild kernels. In other words, given a number field $F$, a finite abelian $p$-group $X$ and $i\in \mathbb{Z}$, one can ask if there exists a finite extension $E/F$ such that $WK^{ét}_{2i}(E)\cong X$. A similar problem has been studied for $p$-class groups and there are precise relations between the $p$-class group and étale wild kernels. Therefore one may expect to translate results from $p$-class groups to étale wild kernels. It is maybe useful to give here a short account on the classical realizability problem for $p$-class groups. Essentially two kind of techniques are used. On the one hand, for a fixed number field $F$, one studies the Hilbert $p$-class field tower of $F$: it has been shown by Yahagi that the Hilbert $p$-class tower of $F$ is infinite if and only if there is no finite extension $E/F$ whose $p$-class group is trivial. Furthermore, if the Hilbert $p$-class tower of $F$ is finite, then every finite abelian $p$-group structure appears as $p$-class group of some finite extension $E/F$. On the other hand, once we know that for a fixed number field $F$ there exists a finite extension whose $p$-class group is trivial, then class field theory and genus theory are used to exhibit, for any finite abelian $p$-group $X$, a finite extension $E/F$ such that the $p$-class group of $E$ is isomorphic to $X$. Actually, the translation of Yahagi's result in terms of étale wild kernels is not immediate: the relation between the class groups and étale wild kernels of a number field $F$ is expressed in terms of $\Gamma$-modules structures, where $\Gamma$ is the Galois group over $F$ of the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of $F(\mu_p)$. The most natural way to approach the problem is then to consider the realizability problem for Iwasawa modules. This problem is studied (among many others) by Ozaki: he proved that for any finite $\Lambda$-module $X$, there exists a number field $k$ such that the Iwasawa module of $k$ (i.e. the projective limit of $p$-class groups along the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension) is isomorphic to $X$. The techniques used are inspired to those by Yahagi and actually Ozaki makes fundamental use of the fact that $p$ does not divide the class number of $\mathbb{Q}$. To get the translation of this result in terms of étale wild kernels one has to consider $\mathbb{Q}(\mu_p)$ -more precisely a suitable subfield of $\mathbb{Q}(\mu_p)$ depending on $i$- instead of $\mathbb{Q}$. Here the problem is that the class number of this suitable subfield is no more coprime with $p$ (as $p$ may be irregular). If this is not the case anyway, the proof of Ozaki can be adapted as it is shown in Chapter 2. In order to deal with the bad case (i.e. the case where the class number of the suitable subfield above is not coprime with $p$), one considers analogues of Hilbert $p$-class fields and Hilbert $p$-class towers. These have been defined by Jaulent and Soriano for $i=0$ and generalized by Assim (but only for field containing $\mu_p$). In Chapter 3 we develop this theory in the general case: the main result is that if $WK_{2i}^{ét}(\mathbb{Q})\ne 0$ and $i$ is odd, then the étale analogue of the Hilbert $p$-class tower of $\mathbb{Q}$ is infinite. This is equivalent to the fact that, for every number field $F$ containing the suitable subfield of $\mathbb{Q}(\mu_p)$ as above, we have $WK_{2i}^{ét}(F)\ne 0$. This is probably the main difference between the classical class groups case and the étale wild kernels case: in other words, the infiniteness of the tower does not seem to imply directly that there do not exist fields with trivial étale wild kernel (because of the condition on that subfield). Maybe this hypothesis on the subfield is merely a technical one. Here we do not treat the classical question of giving condition for the tower to be infinite (in the spirit of Golod-Shafarevic inequalities): anyway, as the reader may guess, an adaptation of the classical results to the étale case should not be difficult. The second problem which is studied in this work is analyzed in Chapter 4. We focus on the $K$-theory exact localization sequence for a number field $F$. One can asks for conditions in order for this exact sequence to be split: one motivation for this question is the Tate-Milnor theorem which states that, if $E$ is a rational function field of one variable, then the localization sequence for $K_{2}(E)$ always splits. Coming back to the splitting problem for number fields, one is naturally lead to consider separatedly for each prime $p$, the $p$-localization sequence for $K_{2i}(F)$, i.e. the $p$-primary part of the above localization sequence. Banaszak stated a theorem which says that the $p$-localization sequence for $K_{2i}(F)$ splits if and only if $\mathrm{div}(K_{2i}(F))_p=0$ (for an abelian group $M$, $\mathrm{div}(M)$ denotes the subgroup of divisible elements of $M$). We also know that $\mathrm{div}(K_{2i}(F))_p=WK^{ét}_{2i}(F)$. The triviality of $WK^{ét}_{2i}(F)$ is easily seen to be a necessary condition in order for the localization sequence to be split but Banaszak's proof of sufficiency seems to be incomplete. Actually looking for a counterexample (i.e. a number field $F$ such that $WK^{ét}_{2i}(F)=0$ but the $p$-localization sequence for $K_{2i}(F)$ does not split), we found a necessary and sufficient condition for the $i$-th sequence to be split which is different from that of Banaszak. It turns out for example that in the case $F=\mathbb{Q}$ Banaszak's condition is necessary and sufficient (counterexamples are indeed of subtle nature). In the rest of this chapter, we fix notation and recall known results which serve at the same time as motivation and tools for our investigations. In particular, $K$-groups and étale wild kernels are introduced and some of their properties are listed.
-Étale wild kernels
-Iwasawa theory
-K-theory localization sequence
-Genus theory
Source: http://www.theses.fr/2009BOR13780/document

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d'au
er
s
à
la
Th
de
),
tour
on
plique
considère
directemen
des
l'absence
analogues
corps
des
nom
[Mil],
a
-corps
ec
des
y
classes
sauv
de
étale
Hilb

ert
de
et
condition
d
le
e
con
s
enable,
oir
sûr).
-tours
se
des
eut
classes
en
de
que
Hilb
diérence
ert
a
qui
paren
on
et
t
l'on
été
se
dénis
de
par
yp
Jaulen
sur
t
sous-corps.
e
ne
t
téresse
S
ici
o
la
ri
classique
a
les
n
susan
o
an
in
la
[
soit
JS]

p
Golo
our
v
(v
[JS]
lnor
[As]
i
:
et
toute
géné-
n
ralisés
comme
par
p
Assim
facilemen
in
deviner,
[As]
e
(mais
des
sous
classiques
l
devrait
'h
être
yp
mp
othèse
Le
que
problème
le
on
corps
tére
de
se
base
ce
con
v
tien
est
t
en
les
tail
racines
le
M
4.
-ièmes
regarde
de
plus
l'unité).
la
Dan
te
s
de
le
calisation
Chapitre
oser
3,
d'un
on
de
dév
om
elopp
p
e
eut
cette
On
théorie
de
dans
n
le
places
cas
sur
général
est
:
somme
le
et
résultat
la
plus
à
imp
résiduel
ortan
le
t
(où
est
ite
que
4
k k
p
X
p
Q
Q( )p
Q( )p
p p
p
p
p p
i = 0
p
etWK (Q) = 02i
i p Q
etWK (F ) = 02i
F
Q( )p
K F
M
@
0! K (O )! K (F )! K (k )! 02i F 2i 2i 1 v
v
k F vv
F
Edu
bien
etits
lo
en
calisation
i
p
trouv
our
l'on
l
la
Ita
i
Pisa,
condition
100
les
56
et
(qui
preparée
est
ages
tout
gen
à
de
fait
trouv
analogue
la
à
La
(1))
oit
est
par
scindée.
e
Rev
xe
enan
qui
t
v
au
ages
problème
en
de
des
scission
k
p
se-
our
mais
les
thèses
corps
scind
de
n
nom
te
bres,
soit
on
de
est
cette
amené
Banaszak
naturellemen
niv
t
bres
à
les
consid
es
é
v
rer,
premier
p
ti
our
les
tout
comme
5,
p
premier,
les
la
no
o
in
-suite
t
exacte
no
de
asa
lo
e
cali-
ds
sation,
w
c'est
à
à
è
dire
en
la
en
partie
calisation
tecorv
jet
-primaire
n'est
de
),
la
une
suite
es
(1).
et
Dans
our
[Ba],
-ème
Banaszak
q
a
diéren
enoncé
de
un
en
théorème
v
qui
celle
a
se
rme
as
q
des
u
de
e
à
la
dans
on
quadratiques)
-suite
tre-ex
de
l'on
lo
t
calisation
diciles
de
Dans
P
hapitre,
Bruno
n
Largo
n
Pisa,
rapp
di
conn
ersità
en
est
ation
scindée
comme
si
ce
et
En
seulemen
es
t
et
si
aux
iv
son
Un
duits
onelli",
brièv
T
propriétés.
"Leonida
ançais
Matematica
aux
di
théorie
to
a,
Dipartimen
suite
au
ca-
que
-théorie
(p
étale
our
Iw
un
theory
group
theory
e
lo
ab
Cette
élien
e
ainsi
tre
,
cotutelle
l'on
la
dénote
-suite
par
lo
rance,
de
F
de
cedex,
pro
alence
cadre
le
pas
sous-group
ée
e
on
des
e
élémen
condition
ts
éc
de
sa
hauteur
re
innie).
susan
On
p
sait
que
aussi
le
que
suite
T
scindée
33405
u
F
est
-
te
ération
celle
Lib
Banaszak.
la
diérence
de
tre
rs
nou
ou
elle
c
et
351,
de
1,
ne
Bordeaux
v
ité
p
rs
au
e
eau
Univ
p
Bordeaux,
corps
.
nom
La
(c'est
trivialité
dire
de
exemple
de
ou
Mathématiques
corps
de
:
l'Institut
con
à
empl
déroulé
que
s'est
exhib
ail
son
v
en
est
erité
bien
à
sûr
er.
une
le
condition
c
nécessaire
on
p
les
our
ota
que
o
la
s
suite
on
de
elle
l
résultats
o
us
calisation
serv
soit
t
s
motiv
c
aussi
i
que
ndée
outils
:
our
tou-
tra
tefois
ail.
la
particulier,
preu
group
v
de
e
-théorie
de
les
Banaszak
y
ne
sauv
sem
étales
ble
t
pas
tro
co
et
mp
décrit
lète.
emen
En
leur
eet,
Mots-clés
en
fr
c
:
herc
y
han
sauv
t
étales,
un
d'Iw
con
w
tre-ex
théorie
empl
genres,
e
d
(c'est
lo
à
lisation
dire
été
un
Keywor
corps
:
de
wild
nom
ernels,
b
asa
res
a
tra
,
tel
us
que
,
le
-theory
particulier,
calization
En
quence
l'Italie.
th
et
s
rance
ie.
F
de
K (E)2
p p
p
p K (F )2i
div(K (F )) = 0 M2i p
div(M)
et etdiv(K (F )) = WK (F ) WK (F )2i p 2i 2i
etF WK (F ) = 02i
p K (F )2i
i
Q
K
K
K6.
of
e
ten
of
ts
61
1
.
In
.
tro
.
duction
.
9
.
1.1
.
General
.
description
analogues
o
.
f
.
the
.
w
.
ork
of
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
.
eld
.
class
.
.
.
45
.
w
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
exact
1.2
sp
Basic
.
notation
.
.
4.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Etale
.
ert
.
3.1
.
Hilb
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Etale
.
eld
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.3
.
.
.
.
.
.
.
.
12
.
1.3
.
Algebraic
.
Con
4
-theory
.
o
calization
f
Obstruction
n
.
um
.
b
.
er
.
elds
.
.
.
.
and
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
6
.
1.4
3
Etale
analogues
wild
Hilb
k
class
ernels
45
.
Etale
.
of
.
ert
.
eld
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.2
.
analogues
.
class
.
to
.
ers
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
.
Examples
19
.
2
.
Realizabilit
.
y
.
of
.
ab
.
el
.
ian
.
.
.
-groups
.
as
.
étale
.
wild
.
k
.
ernels
59
23
Splitting
2.1
the
Generalization
-theory
of
lo
a
sequence
result
4.1
b
to
y
litting
Ozaki
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
.
Examples
.
non-
.
xamples
.
.
.
.
23
.
2.2
.
Structure
.
of
.
étale
.
wild
.
k
ernels
.
K
p
KCONTENTS
8,
t
nite
1
er
In
kno
tro
It
duction
eld
1.1
to
General
if
d
een
esc
y
rip
classical
t
xed
i
ah
on
structure
of
en
the
and
w
n
ork
.
The
are
aim
k
of
some
the
e
presen
groups
t
used.
w
,
ork
has
is
that
to
only
pro
F
v
then
e
b
so
elian
me
,
results
nite
ab
a
out
hand,
étale
prob
wild
-class
k
et
ernels.
p
Let
o
Chapter
trans
b
étale
e
e
an
accoun
o
problem
dd
[Y
p
of
rime.
e
Etale
b
wild
Hilb
k
of
ernels
wn
of
[Y
a
as
n
is
um
no
b
group
er
Hilb
eld
ab
elian
ite
(whic
n
h
eld
are
nite
denoted
-group
ab
b
nite
can
y
exists
an
o
for
suc
exhibit,
that
to
w
used
the
are
A
for
has
theory
for
us
and
gen
relations
)
een
are
gro
cohomological
étale
generalizations
nels.
of
e
the
ect
and
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-part
groups
of
k
the
ma
classical
to
wild
a
k
on
ernel
t
theory
f
eld
[Ge]
class
Essen-
then
o
,
hniques
l
the
,
for
whic
u
h
eld
is
studies
the
group
subgroup
w
o
:
f
een
a
y
i
gi
v
and
tri
Hilb
is
to
made
f
up
if
b
there
y
extension
sym
-group
b
triv-
ols
if
whic
elian
h
er
are
ni
trivial
ery
f
giv
o
a
r
um
an
er
y
exists
lo
a
cal
ab
Hilb
there
ert
eld
sym
er
b
um
ol.
one
Etale
ask
wild
there
k
a
ernels
extensi
are
n
group
xed
-class
h
-mo
for
dules
w
whic
e
h
once
are
other
kno
On
wn
.
to
similar
b
lem
e
b
nite
studied
i
extension
f
groups
whose
there
n
precise
o
b
(and
w
ev
the
en
-class
if
u
extensi
and
nite
wild
a
er-
,
Therefore
dep
n
end
ma
ing
exp
on
to
the
late
c
from
hosen
-class
con
to
v
wild
en
ernels.
tion):
is
actually
yb
they
useful
are
giv
conjectured
here
to
short
b
t
e
the
alw
realizabili
a
y
ys
for
nite
-class
(the
(see
Sc
and
hneider
a]).
conjecture).
tially
In
w
the
kind
follo
tec
wing
are
w
On
e
on
will
hand,
supp
a
ose
n
that
m
this
er
is
o
alw
one
a
the
ys
ert
the
-class
case.
to
T
er
w
-class
o
it
problems
b
are
sho
studied
b
in
Y
detail.
a
The
(see
rst,
a]
whic
[So])
h
the
is
ert
analyzed
-class
in
w
Chap-
o
ter
ears
2
innite
and
and
Chapter
if
3,
is
is
nite
to
app
determine
whose
whic
-class
h
is
group
ial.
structures
urthermore,
are
the
realizable
ert
for
-class
étale
w
wild
of
k
is
ernels.
te,
In
ev
other
n
w
-group
ords,
that
p F
etWK (F ) i2Z p2i
WK (F ) K (F )2 2
Z i 1p
i = 0
F
p X i2Z E=F
et WK (E) =X p2i
p
p
p
F p F
p F
E=F p
p F
p p
E=F F
p
pthe
ert
n
In
the
tro
to
duction
(i.e.
10
this
,
Hilb
a
.
nite
yb
extension
i
the
ab
er
b
suc
n
h
e
that
to
the
e
v
and
-class
elds
group
Here
of
the
o
In
is
um
isomorphic
with
to
is
en
Soriano
.
in
A
w
ctuall
if
y
o
,
étale
the
um
translation
the
of
ma
Y
et
ahagi's
other
result
imply
in
ecause
terms
the
of
l
étale
to
wild
[JS]
k
wn
ernels
with
is
where
not
the
immediate:
i
the
considers
relation
and
b
These
et
y
w
o
een
ed
the
y
class
).
groups
thi
and
main
étale
problem
wil
ld
d
étale
k
to
er-
is
nels
for
of
the
a
of
n
o
um
adaptation
b
,
er
the

classical
eld
k
tak
inn
is
es
expressed
do
in
wild
terms
on
of
yp
-mo
a
dules
not
structures,
question
where
the
is

the
d-Shafarevic
Galois
yw
group
is
o
Chapter
v
to
er
bad
is
e
of
class
th
er
e
e
cyclotomic
v
sum
not
the
),
-extension
of
of
-class
and
ert
at
w
of
v
eld
dened
residue
t
.
[JS]
The
ork
most
generali
natural
y
w
(but
a
eld
y
in
to
Chapter
approac
dev
h
theory
the
case:
problem
is
is
h
then
The
to
6
consider
shou
the
then
realiz-
of
abilit
case
y
er
p
innite.
ro
alen
b
fact
lem
ery
for
er
Iw
taini
asa
itable
w
results
a
as
mo
e,
dules.
v
This
guess,
problem
the
is
y
studied
is
(among
dierence
man
een
y
groups
others)
étale
b
case:
y
ords,
Ozaki
of
in
er
[Oz]:
seem
he
that
pro
e
v
trivial
ed
ernel
that
the
for
subeld).
an
this
y
o
ni
is
te
hnical
the
e
-mo
the
dule
s
is
giving
,
tion
there
w
exists
e
a
ite
n
of
um
nequalities,
b
[As]):
er
as
eld
t
(here
sho
suc
in
h
2.
that
order
the
deal
Iw
the
asa
case
w
th
a
case
mo
the
dule
n
of
b
(1.1)
of
(i.e.
suitabl
the
subeld
pro
o
jectiv
e
e
s
limit
coprime
of
Chapter
nite
one
-class
analogues
groups
Hilb
along
in
the
elds
cyclotomic
Hilb
eld
analyzed
er
to
-extension)
ers.
is
ha
isomorphic
e
to
een
b
b
.
Jaulen
The
and
tec
in
hniques
f
used
r
are
w
inspired
and
to
z
those
b
b
Assim
y
[As]
Y
onl
ahagi
for
and
co
actually
taining
Ozaki
studied
mak
In
es
3
fun
e
dame
elop
n
s
tal
in
use
general
of
the
the
result
fact
that
that
is
um
whic
do
second
es
dicult.
not
b
divide
not
the
and
class
is
n
dd,
um
the
b
analogue
er
the
of
ert
n
-class
.
w
T
of
o
is
get
This
the
equiv
translation
t
of
the
this
that,
result
ev
in
n
terms
b
of
eld
étale
con
wild
ng
k
su
ernels
subeld
one
to
has
classical
to
of
consider
ab
a
v
for
w
sequence
ha
calization
e
lo
an
-more
y
precisely
reader
a
as
su
6
itable
a
subeld
This
of
probably
exact
main
-theory
b
the
w
on
the
cus
class
dep
case
ending
the
on
wild
fo
ernels
-
in
instead
w
of
the
e
iteness
.
the
Here
w
the
do
problem
not
is
to
that
directly
the
there
class
not
n
xist
um
with
b
étale
er
k
of
(b
this
of
suitable
condition
subeld
that
is
Ma
no
e
more
h
coprime
othesis
with
n
W
subeld
(as
merely
4.
tec
ma
one.
y
w
b
do
e
treat
irregular).
c
If
a
this
sical
is
of
not
co
the
di-
case
for
an
to
yw
er
a
b
y
in
,
n
the
(in
pro
spirit
of
Golo
of
i
Ozaki
see
can
and
b
an
e
nite
adapted
-class
X E=F p E
X
F
F Z F ( )p p
X
k k
p Zp
X
p
Q
Q( ) Q( )p p
i Q
p p
p
p p
i = 0
p
etWK (Q) = 0 i2i
p Q
F
et
Q( ) WK (F ) = 0p 2i
K
F M
@
0! K (O )! K (F )! K (k )! 02i F 2i 2i 1 v
v
k F vv