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Bordeauxdy-:d'ordreMaître:KLÜNERS3903anTHÈSEIprésentétéeonàingdomL'UNIVERSITÉrsBORDEAyUXd'examenIUnivÉCOLEProfesseur,DOCTORALECOUVEIGNESDEC.MAUnivTHÉMAUnivTIQUESUnitedETorteurINFUnivORMAPTIQUEorn,parorteurAnnalaMorraoséePOURBELABASOBTENIRtéLEH.GRADEersiDEJ.DOCTEURUnivSPÉCIALITÉoulouse:UNAMathématiquesConferencesPuresté*********************-C2009OMPT,AKGERappASYMPTOTIQUEJ.ETProfesseur,ALGORIeTitätHMaIQUEerbD'EXTENSIONSGermanCUBIQUESRappRELADevTIVESt*********************commissionSoutencompuedeleK.7Professeur,décemersibreBordeaux2009DirecteuràCOHENl'InstitutUnivdetéMathémIatiquesM.deProfesseur,BordeauxersiAprèsTa2visDELAdeY:deJ.(HDR),CREMONAersiProfesseur,LyW1arwic1kersit◦N2Fcecplus...knotuttiwledgemensouhaités.tssouvThisennthesisquiwsasmomensuppesortedBordeauxbourystthascalespEuropuneanesso,CommunaunitmeyaitunderdepuisthedeMarieersonnelCurieLecuonaResearctrèshplanToùrainingLNettswmesorkyce,GTEMqui(MRd'êtreTN-CT-2006-035495).FIvw:ouldM.likabbraccieeiincredevparticulare,todansthankCohen,alldetheestscieneuttistsaussiinncAnniehargeritofmestheingénieursprohject,troiswhoCELARdidfaenlotetofeswctoranorkortetoaumakFelesthisctorannetséjourwiorkPactivI.,e,**********toamicioprvgElena ...

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.
.
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.
.
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2.2.3
.
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s
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31
.
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Comparison
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Results
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[14]
The
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
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.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
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.
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n
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.
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Quadratic
.
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B.1.2
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reduction
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77
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computing
.
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when
.
.
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9
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2.6
85
Results
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.
.
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D.2
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.
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.
.
.
73
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Cubic
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
.
2.6.1
.
List
.
of
.
cubic
.
extensions
.
of
.
86
C
.
C.1
.
ximation
.
i
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.
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.
.
.
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.
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C.1.1
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A
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69
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A.1
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T
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80
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Error
.
computing
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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D
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.
.
.
.
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.
B
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B.1
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GP
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umerate
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.
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une
adopter
prop
deux
[52]
p
Türk
oin
in
ts
des
de
l'unité
vue
d
diéren
certaines
ts,
présence
et,
sur
en
v
quelque
c
sorte,
constan
c
explicites,
omplémen
dép
taires.
t
Asymptotique
t
D'un
se
côté,
qui
on
Malle,
a
endan
le
de
p
et
oin
conjecture
t
Cette
de
a
vue
prouv
asymptotique,
p
quand
les
Malle,
es
tend
éliens
v
55],
ers
p
l'inni.
la
Celui-
des
ci
de
est
gré
un
à
thème
au
cl
sur
ass
.
i
certain
q
bre
ue
résultats
,
taux
qui
été
remon
u,
te
n
à
r,
Gauss
Cohn
[35],
Da
qui
enp
compta
Heilbronn
les
Datsk
classes
vsky
de
W
formes
t
quadratiques
Cohen-Diaz
binaires
Diaz-Olivier
a
18,
v
et
ec
v
discriminan
[5,
t
7].
b
our
orné.
surv
Un
historique
certain
les
nom
elopp
bre
ts
de
ce
conjectures
jusqu'à
imp
on
ortan
vite
tes
le
on
à
t
référence
é
[16]

t
form
En
ulées
Klüners
récemmen
donna
t
co
à
v
prop
In
K G n
F (G)K;n
L=K n N L=K
G
N (G;X) =jfL2F (G);Nd(L=K)Xgj;K;n K;n
F (G);K;n
X
a(G) b(G;K) 1N (G;X)c(G;K)X (logX) ;K;n
a G b c
G K
5 Qen
on
in
que
nom
b
notre
e
in
aucoup
Conjecture
d'autres
théorie
(p
dans
our
v
un
des
surv
premier
ol,
v
v
umerer
oir
ps
[44]).
l'algorithme
Dans
endix
cette
a
p
v
ersp
xé.
ecti
de
v
Structure
e
les
particulière,
l
la
ule
théorie
xée
de
un
la
corps
réduction
ec
e
se
t
à
la
cu-
géometrie
corps
des
c
nom
de
bres,
t
ainsi
cubiques
qu
détail
e
Soit
les
et
bijecti
our
ons
degré
explicites
group
motiv
Cette
ées
maniè
par
bres
la
un
classication
v
de
nou-
s
les
espaces
v
préhomogènes,
en
deviennen
second
t
gorithme,
les
cubiques
acteurs
quadratique
princi
n'est
paux
b
.
A
Si
de
le
enp
s
L'app
derniers
én
son
de
t
t
des
ra
ob
erreurs
jets
ision
plutôt
L'app
récen
explicites
ts,
our
la
de
théorie
réduction
de
corps
la
t
réduction
Comptage
a
te
une
de
histoire
extension
assez
Galoisienne
longue,
tes,
qui
on
remon
bres
te
pas
au
de
moins
de
au
la
tra
s
v
aux
ail
de
de
de
Gauss
ci-dessus.
sur
hapitre
les
v
formes
t
quadratiques
Henri
binaires
e
et
elle
ternaires.
p
Après
quadratiques
lui,
une
Bianc
te
hi
m
[
t
10],
Malle.
Julia
hapitre
[39]
eau
et
our
d'a
les
u
'
tres,
nom
on
aginaire
t
de
generalisé
a
c
t
ette
en
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L'app
à
ui
d'autres
preuv
corps
de
de
Da
nom
Heilbronn,
bres,
aniguc
en
B
particulier
p
ceux
les
quadratiques
d'un
i
bres
maginaires.
s
T
théorie
out
classes
le
on.
19ème
étudie
siècle
dans
a
en
été
tan
fasciné
algorithme
par
D
la
p
théorie
t
des
esoin
in
érier
v
c
arian
ords
ts,
de
un
our
c
sur
hapitre
imaginaires.
conclu
main
par
ter
la
résultats
preuv
cubiques
e
résolv
de
tique
Hilb
un
ert
bres
que
considère
l'algèbre
.
des
app
in
clôture
v
téressan
arian
p
ts
paramétriser
est
corps
de
nom
t
de
yp
cyclique
e
et
ni
parties
[37].
leur
Après
e
cela,
classes.
la
de
théorie
thèse
des
thèse
in
'
v
téresse
arian
deux
ts
res
a
compter
été
corps
rendue
nom
de
décrites
plus
Le
en
c
plus
est
abstraite,
tra
en
ai
utilisan
join
t
a
l
ec
es
Cohen;
répresen
prouv
tations
une
de
v
group
form
es
asymptotique
et
our
la
extensions
théorie
a
des
ec
in
résol
v
an
arian
quadratique
ts
(Theore
géometriques
1.6.2),
de
ranan
Mumford
la
[46].
de
Mais
Le
la
c
théorie
décrit
des
nouv
in
al
v
p
arian
én
ts
toutes
classique
extensions
trouv
d
a
un
de
de
s
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nouv
im
e
de
lles
bre
applications,
classes
et
,
devin
v
t
discriminan
à
relatif
nouv
orné,
eau
tem
t
presque-linéaire.

endix
s
esq
actuelle
s
dans
la
les
e
tra
l'extension
v
la
aux
de
plus
v
récen
ort-
ts
dûe
de
T
Elstro
hi.
dt,
endix
Grunew
décrit
ald
classique
et
our
Mennic
umerer
k
extensions
e
biques
[31,
corps
32,
nom
33]
donné,
(dans
utili
leur
an
tra
la
v
des
ail
de
sur
de
l'espace
y
h
L'app
yp
C
erb
les
olique
d'arrondis
ainsi
les
-dimensionnel),
alculs
Cremona
préc
et
ot-
Stoll
te
[23,
notre
25]
principal.
(qui
endix
étaien
donne
t
s
motiv
olynômes
és
don
par
on
l'étude
b
des
p
courb
v
es
rigoureusemen
elliptiques
les
et
onditions
h
b
yp
dans
erelliptiques)
théorie
et
la
enn
p
dans
formes
le
binaires
tra
des
v
quadratiques
ail
On
de
a
Bharga
tenan
v
présen
a
en
[5,
nos
6,
principaux.
7,
d'extensions
8,
a
9],
ec
qui
an
généralise
quadra-
la
xée
loi
Quand
de
corps
comp
nom
osition

de
On
Gauss
une
e
cubique
t
de
trouv
on
e
elle
des
la
bijections
vi
très
les
3
5
1
k K=k
N K=k K=kl'extension
N
ue
d'Euler.
On
onstante
ble
c
.
la
et
est
on
et
app

,
,
de
et
une
le
un
corps
vite
de
si
nom
s
bres
.
,
dans
con
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tien
-isomorphisme,
t
de
une
isomorphe
unique
p
sous-extension
principal
quadratique
la
tout
est
our
remarquer
p
t
.
la
a
la
On
mple
rs.)
On
pu
ce
cubiques
et
(Corps
cas
(1)
ulemen
lors:
e
A
e
sinon.
dulo
et
s
,
sous-extension
si
clôture
e
n
os
o
p
dénit
l'on
ule
et
1.6.2)
,
e
e
de
d
t
oir
train
mir
donc
orps
que
c
lecteur
le
le
Quand
de
ar
absolue.
p
vii
est
notation
cyclique
utilise
on
cas,
a
i
dénote
.
on
xe
,
quadratique
et
Dans
c
,
ave
on
de
elle
extension
le
une
t
soit
l'ensem
ci-dessus,
d
.
s
Ce
cubiques
cas
s
a
mo
déjà
ici
été
telle
traité
q
dans
la
[18],
quadratique
mais
la
on
Galoisienne
l'inclut
l'énonce
ici
soit
p
à
our
;
des
On
raisons
our
d'exhaustivité,
asymptotique
en
form
p
donne
osan
(Theorem
t
théorème
Comme
otr
Théorème.
Malle.
.
conjecture
de
de
;
ranemen
par
d'étudier
abus
en
de
on
langage
a
on
6
app

elle
à
toujours
le
place
est
la
discriminan
une
relatif
extension
in
quadratique
et
de
norme
à
dénote
,
même
Gal(N=k)’S N3
K =k2
N
|
|
|
|
|
| 2
|
|
CK 3
3 K2
|
|
|
|
|
| 2
|
|
k
K=k N = K Gal(N=k)’ C3
K =k K2 2
k [K :k] = 12
K =k F(K )2 2
K=k k
K=k K2
N(K =k;X) =jfK2F(K ); N (d(K=k))Xgj:2 2 k=Q
d(K=k) K=k Nk=Q
X
N (S ;X) = N(K =k;X); N (C ;X) =N(k=k;X);k;3 3 2 k;3 3
K =k;K =k2 2
N(K =k;X) k =Q2
N(K ;X) N(K =Q;X)2 2
p
K = Q( D) Q2p
0[K :Q] 2 K =Q( 3D) K2 22p
0 0 0g(K ) = 3 K =Q( 3) g(K ) = 12 2 2
p p p
2=3+"
N(Q( 3);X) =C(Q( 3))Y (log(Y ) +D(Q( 3)) 1) +O(Y );
p
"> 0 Y = X=d(K =k)2

Yp 7 3 2
C(Q( 3)) = 1 +
2 330 p p
p
Xp 16 log(p)
D(Q( 3)) = 2 log(3) + 6 ;
235 p +p 2
p
L'idée
ce
-algèbres
(Cas
l
génér
généralisation
al.)
momen
Pour
à
(2)
umerer
6
à
de
enp
corps
our
,
quadratiques
on
le
note
un
un
problème
sur
concerne
he
uméran
marc
bres.
dernier
[50],
Ce
de
on.
arbitraire
le
un
nombr
seulemen
e
de
d'idé
Le
aux
a
pr
est
emiers
actions
de
-dimensionnel,
de
algorithme
gr
Le
é
t
y
l'algorithme
(non
cubiques
r
s
amiés)
nous
au
de
dessus
bijections
de
n
ra
én
dans
d'un
de
l'appliquer
classes
m'a
de
de
.

A
corps
lors
v
corps
c'est
des
,
théorie
même
la
nom
utilise
corps
qui
nom
classique,
ossible
le
ail
ec
es
v
erb
a
laissera
algorithme
viii
cet
our
comparer
extensions
de
c
t
p
n
vue
a
de
ress
Belabas
é
les
t
suiv
in
aut
est
de
Il
principal
sortie.
ermet
la
le
de
aniguc
taille
étend
la
Da

br
dans
Le
linéaire
aniguc
t
les
en
au
tiellem
de
sen
,
s
t
e
un
est
à
algorithme
nom
notre
En
,
l'algorithme
est
marc
calculés
sur
bres
nom
nom
aginaires
de
nom
corps
hapitre
de
dire
bre
principal
nom
v
le
dicil
Comme
sem
.
inni
de
ec
tiers
nom
en
Une
des
corps
anneau
quadratiques
l'
doute
sur
mais
naires
a
bi-
sur
hermitiennes
certains
formes
matrices
des
h
duction
ique
é
on
r
e
la
ert.
de
Un
théorie
p
la
én
6
les
ise
cubiques
util
second
algorithme
hapitre
Notre
le
.
oin
tout
de
our
algorithmique.
p
est
,
généraliser
temps
de
en
én
che
t
mar
extensions
algorithme
de
et
,
C
d'
elatif.
re
r
corps
discriminant
nom
et
L'outil
du
qui
norme
p
la
cette
sur
est
orne
théorème
b
T
une
hi
jusqu'à
qui
de
les
extensions
de
les
v
toutes
ort-Heil
e
o
énumèr
n.
si
théorème
qui
T
hme
hi
t
umère
algori
e
un
cubiques
existe
dessus
Il
anneau
.
Dedekind
classes
l
,
mais
de
concrètemen
si
est
e
obtenir
r
algorithme
nomb
obligée
c
faire
ave
certain
e
bre
imaginair
restrictions.
atique
ce
,
t,
quadr
presen
si
ici
es
he
nombr
t
de
les
orps
de
c
bres
un
im
Soit
a
Théorème.
ec
t.
bre
an
classes
.
,
On
à
souligne
c
le
de
fait
résultat
que
a
la
ec
form
e.
ul
plus
e
ble
da
problème
n
d'unités,
s
bre
(2)
un
a
v
été
bres
donnée
de
à
les
cause
généralisation
de
d'autres
son
de
élégance,
bres
mais
imaginaires
elle
sans
ne
p
doit
,
p
nécessite
as
tr
être
v
utilisée
additionel
p
les
our
de
les
group
calculs
de
pratiques
sur
des
'espace
constan
yp
tes;
ol
p
our
our
donc
cela
le
se
comm
référer
un
au
ouv
Corollaire
P
1.8.6
ci-dessous.
p
D = 3 a 0 (p)K2
01 p K2
p p
2=3+"N(Q( D);X) =C(Q( D))Y +O(Y );
p
Y = X=d(K =k)2

0 Yp 0a (p)c (K ) 1K30 2 2C(Q( D)) =g(K ) 1 + 1 ;2 03+r (K )2 23 p p
p=3
8
2>11 3Z 0 = pK< 12
0c (K ) = 015 3Z = p3 K 12 2>:
021 3Z = p p1 2K2
Q
O
O
1p
Q( D) D2f1; 2; 3; 7; 11; 19; 43; 67; 163g:
3
K
1 K
X
1+"O (X ) "> 0"
O KK
XK